Annulateur d'une partie d'un module

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Soit M un module sur un anneau A et S une partie de M. On appelle annulateur de S et on note Ann(S) l'ensemble :

Ann(S) = \{ \alpha \in A : \forall x \in S, \alpha \cdot x = 0\}

Si M est un module à gauche, alors Ann(S) est un idéal à gauche de A, et si M est un module à droite, alors Ann(S) est un idéal à droite de A. On peut cependant remarquer que quel que soit le type de module considéré, Ann(M) est un idéal bilatère.

En effet, si M est un module à gauche, alors Ann(M) est un idéal à gauche. Et si \alpha \in Ann(M), et \beta \in A, alors \forall x \in M, (\alpha\beta) \cdot x = \alpha \cdot (\beta \cdot x) =  0 (car \alpha \in Ann(M) et que \beta \cdot x \in M) donc \alpha\beta \in Ann(M), ce qui prouve que Ann(M) est également un idéal à droite de A.

(On pouvait également remarquer que Ann(M) n'est autre que le noyau du morphisme d'anneau \psi: A\to End(M))

Un élément x de M est dit simple, si \forall \alpha \in A, \alpha \cdot x = 0 \Rightarrow \alpha = 0
, autrement dit si Ann({x}) = {0}.