Alphonse de Polignac

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Alphonse de Polignac

Naissance 1826
Décès 1863
Nationalité française
Champs Mathématiques
Renommé pour Conjecture de De Polignac
Formule de De Polignac (en)

Alphonse de Polignac (1826-1863) est un mathématicien français du XIXe siècle. Son père Jules de Polignac (1780-1847) était le premier ministre de Charles X au moment de la Révolution de juillet 1830.

Alphonse de Polignac est entré à Polytechnique en 1849. Il s'est essentiellement penché sur la théorie des nombres et plus particulièrement sur les nombres premiers.

Il est l'auteur de la formule de De Polignac (en) et de la célèbre conjecture de De Polignac (1849) qui est redevenue d'actualité en mai 2013, en connexion avec le théoreme de Zhang Yitang[1].

Une autre de ses conjectures s'est révélée inexacte[modifier | modifier le code]

Polignac est également l'auteur d'une conjecture fausse qui a été présentée à l'Académie des sciences en 1849 en ces termes[2]:.

« Tout nombre impair est égal à une puissance de 2, plus un nombre premier. (Vérifié jusqu'à 3 millions.) »

La conjecture est effectivement vérifiée pour les premiers nombres impairs. Cependant un relativement petit contre-exemple[3] démontre non seulement que la proposition est fausse mais qu'elle n'a pu être vérifiée jusqu'à 3 millions comme annoncé.

En effet, cherchons à décomposer le nombre impair 127 comme prescrit :

\begin{align}127&=1+126=2^0+2\times63\\
        &=2+125=2^1+5\times25\\
    	&=4+123=2^2+3\times41\\
        &=8+119=2^3+7\times17\\
        &=16+111=2^4+3\times37\\
        &=32+95=2^5+5\times19\\
        &=64+63=2^6+3\times21\end{align}

Comme 27 = 128 > 127, ce sont là les seules décompositions possibles de 127 en tant que somme d'une puissance de 2 et d'un nombre positif. Puisqu'aucun des nombres en question n'est premier, de Polignac n'avait clairement pas bien fait les vérifications qu'il mettait en avant.

Un théorème d'Erdős (de)[4] démontre même qu'il existe une infinité de contre-exemples à cette conjecture : à l'aide d'un système couvrant, Paul Erdős démontre en effet de façon élémentaire[5] qu'il existe une suite arithmétique d'entiers impairs dont aucun n'est de la forme indiquée par de Polignac.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Gérard P. Michon, « The Twin Primes Conjecture », sur Numericana,‎ 2/7/2013.
  2. "Compte rendu des séances de l'Académie des Sciences." Tome 29, Séance du lundi 15 octobre 1849, p. 400.
  3. André Ross, « Pourquoi démontrer ce qui est évident? » [PDF], sur Accromath,‎ 2008.
  4. (en) Paul Erdős, « On integers of the form 2k + p and some related problems », Summa Brasiliensis Mathematicae, vol. 2, no 8,‎ 1950, p. 113-123 (lire en ligne).
  5. (en) Wacław Sierpiński, Elementary Theory of Numbers, Elsevier/PWN (pl),‎ 1998, 2e éd. (lire en ligne), p. 445-446.

Liens externes[modifier | modifier le code]