Algorithme de Gram-Schmidt
En algèbre linéaire, dans un espace préhilbertien (c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels ou celui des complexes, muni d'un produit scalaire), le procédé ou algorithme de Gram-Schmidt[1] est un algorithme pour construire, à partir d'une famille libre finie, une base orthonormée du sous-espace qu'elle engendre. On peut aussi utiliser le procédé de Gram-Schmidt sur une famille infinie dénombrable de vecteurs. Ceci permet de démontrer l'existence d'une base hilbertienne si l'espace est séparable.
Énoncé
Précisément, en notant ou ℕ :
Théorème — Si est une famille libre d'un espace préhilbertien, il existe une et une seule famille orthonormée telle que :
- pour tout
- les produits scalaires sont strictement positifs pour tout
On oublie souvent la seconde condition, qui assure l'unicité. Elle permet de parler de la famille orthonormalisée de Gram-Schmidt associée à .
L'étape générale de l'algorithme consiste à soustraire au vecteur son projeté orthogonal sur le sous-espace engendré par . On s'appuie sur la famille orthonormale déjà construite pour le calcul de ce projeté.
Cette méthode a été publiée par Jørgen Pedersen Gram en 1883 et reformulée par Erhard Schmidt en 1907, mais on la trouve déjà dans des travaux de 1816 de Laplace[2].
Applications
- Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt donne (constructivement !) l'existence de bases orthonormées pour tout espace euclidien ou hermitien.
- On peut aussi orthonormaliser la base canonique (1,X, …) de ℝ[X] et obtenir ainsi une famille de polynômes orthogonaux.
- Le procédé de Schmidt peut être utilisé dans la décomposition QR d'une matrice[3].
Procédé de Gram-Schmidt
Nous définissons l'opérateur de projection orthogonale sur une droite vectorielle dirigée par le vecteur u par[4] :
Le procédé de Gram-Schmidt est alors :
Avec :
< , > produit scalaire dans l'espace considéré
V1...Vk ensemble de vecteurs non liées
U1...Uk ensemble de vecteurs orthogonaux deux à deux
e1...ek ensemble de vecteurs orthonormaux deux à deux
Notes et références
- Mathématiques Tout-en-un. 2e année MP, Dunod, , 2e éd. (ISBN 2-10-007576-4), p. 569
- (en) Gram-Schmidt orthogonalization, dans Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (G)
- A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Méthodes numériques pour le calcul scientifique, Programmes en Matlab, éd. Springer, 2000, p. 83 et suiv. Lire en ligne
- La convention choisie pour le produit scalaire hermitien étant ici : linéarité à droite et semi-linéarité à gauche.
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gram–Schmidt process » (voir la liste des auteurs).