Algèbre de mélange

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En mathématiques, et notamment en combinatoire algébrique, une algèbre de mélange est une algèbre de Hopf dont la base est formée de mots sur un certain alphabet avec, comme produit, le produit de mélange x ш y de deux mots x et y : ce produit consiste en l'entrelacement, de toutes les manières possibles, les séquences de lettres composant les mots[1],[2].

L'algèbre de mélange sur un ensemble fini est l'algèbre graduée duale de l'algèbre enveloppante universelle de l'algèbre de Lie libre sur cet ensemble.

L'algèbre de mélange sur les nombres rationnels est isomorphe à l'algèbre polynomiale des mots de Lyndon.

Produit de mélange[modifier | modifier le code]

Article détaillé : mot (mathématiques).

Le produit de mélange x ш y de deux mots x de longueur N et y de longueur M est la somme des \frac{(N+M)!}{N!M!} mots x_1y_1x_2y_2\cdots x_ny_n, où les x_i et les y_i sont des mots, tels que x=x_1x_2\dots x_n et y=y_1y_2\dots y_n. Par exemple,

aab ш ab=6aaabb+3aabab+abaab.

On peut aussi le définir par récurrence[3] par :

ua ш vb=(u ш vb)a + (ua ш v)b.

Le produit de mélange est associatif et commutatif[4].

Produit d'infiltration[modifier | modifier le code]

Le produit d'infiltration est une opération semblable, introduite par Chen, Fox et Lyndon 1958. Il est défini par récurrence pour les mots sur un alphabet A par

fa\uparrow  ga = (f\uparrow ga)a + (fa\uparrow g)a + (f\uparrow g)a ;
fa \uparrow gb = (f\uparrow gb)a + (fa\uparrow g)b.

Par exemple,

ab \uparrow ab = abb + 2aab + 2abb + 4 aabb + 2abab ;
ab \uparrow ba = aba + bab + abab + 2abba + 2baab + baba .

Le produit d'infiltration est également associatif et commutatif[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Le terme shuffle product qui est la traduction anglaise de produit de mélange, a été introduit par Eilenberg et Mac Lane (1953). Il doit rappeler le mélange de paquets de cartes.
  2. Le symbole « ш » est la lettre sha de l'alphabet cyrillique, On utilise aussi le caractère unicode U+29E2 (SHUFFLE PRODUCT)).
  3. Lothaire 1997, p. 101, 128.
  4. Lothaire 1997, p. 126.
  5. Lothaire 1997, p. 128.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Shuffle algebra » (voir la liste des auteurs)

Liens externes[modifier | modifier le code]