Algèbre étale

En mathématiques, une algèbre étale sur un corps commutatif K est une K-algèbre produit d'un nombre fini d'extensions finies séparables de K.

Les algèbres étales sur K ne sont autres que les algèbres séparables commutatives sur K.

Exemples[modifier | modifier le code]

Voici des exemples d'algèbres étales sur K :

Pour tout entier positif ou nul n, l'algèbre produit Kⁿ de n copies de K. En particulier :
- le corps de base K,
- l'algèbre triviale {0}.
Les extensions séparables de degré fini K. Si la caractéristique de K est nulle (par exemple si K = R ou si K = C), alors toute extension de degré fini de K est séparable.
Sur le corps R des nombres réels, les algèbres étales sont de la forme Rⁿ × C^p, où n et p sont des entiers positifs ou nuls.

On dit qu'une algèbre étale A sur K est déployée (split en anglais) si elle est isomorphe à Kⁿ, où n est la dimension de A sur K. Si K est algébriquement clos (par exemple si K est le corps des nombres complexes) ou plus généralement séparablement clos, toute algèbre étale sur K est déployée.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Toute sous-algèbre (unitaire) d'une algèbre étale est étale.
L'algèbre produit d'une famille finie d'algèbres étales est étale.
Le produit tensoriel de deux algèbres étales (ou plus généralement d'une famille finie d'algèbres étales) est une algèbre étale.
Si L est un surcorps commutatif de K, alors la L-algèbre L ⊗_K A déduite de A par extension des scalaires de K à L est étale.
Soit L une extension finie de K et A une algèbre sur K. Pour que la K-algèbre sous-jacente à A soit étale, il faut et il suffit que la L-algèbre A soit étale et que l'extension L de K soit séparable (la dernière condition est satisfaite si la caractéristique de K est nulle).

Algèbres étales quadratiques[modifier | modifier le code]

Une algèbre étale est dite quadratique si sa dimension sur K est égale à 2. Les algèbres étales quadratiques sur K sont les extensions quadratiques séparables de K (si la caractéristique de K est différente de 2, toute extension quadratique de K est séparable) et l'algèbre K × K.

Exemples.

Si K est algébriquement clos, la seule algèbre étale quadratique sur K est K × K (à isomorphisme près).
Sur R, les algèbres étales quadratiques sont R × R et C.

Si A est une algèbre étale quadratique sur K, elle a exactement deux automorphismes de K-algèbre. Celui différent de l'identité, appelé la conjugaison de A, est donc involutif. Par exemple, la conjugaison de K × K envoie (x, y) sur (y, x) et la conjugaison de C est la conjugaison usuelle des nombres complexes.