Aire d'un triangle

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L'aire d'un triangle est, en géométrie euclidienne, une mesure de la surface plane déterminée par trois points et les segments joignant ces points. L'intérêt de l'aire d'un triangle provient du fait que tout polygone peut être scindé en triangles. Il existe plusieurs méthodes de calcul de cette aire, suivant ce qui est connu du triangle, la plus connue étant celle utilisant une hauteur h et la base b associée :

A = \frac{b \times h}{2}\ .

Une autre formule de calcul, dite formule de Héron, permet le calcul de l'aire connaissant les longueurs des trois côtés a, b et c d'un triangle et leur demi-somme s :

A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\ .
Un triangle de côtés a et b formant un angle γ au sommet C.

Elle peut se déduire de la loi des sinus, l'aire du triangle étant déduite d'un angle et de ses côtés adjacents. Si les deux côtés adjacents au sommet C d'un triangle ont pour longueur a et b et si l'angle en C a pour mesure γ, alors l'aire est donnée par :

A =\frac 12 ab\sin\gamma\ .

Calcul de l'aire[modifier | modifier le code]

Calcul à partir d'une hauteur[modifier | modifier le code]

L'aire d'un triangle peut être calculée en le décomposant en deux triangles rectangles.

Si le triangle est rectangle il est immédiat que son aire est

S = \dfrac{ah}{2},

a est la longueur d'un côté différent de l'hypoténuse et h la longueur de la hauteur issue de ce côté. Si le triangle n'est pas rectangle, la relation reste vraie, car le triangle se décompose en deux triangles rectangles (comme sur la figure).

Démonstration par la méthode du cisaillement[modifier | modifier le code]

À partir de la formule donnant l'aire d'un rectangle, Euclide démontre d'une part (proposition XXXV du premier livre des Éléments) :

« Les parallélogrammes constitués sur une même base, et entre mêmes parallèles, sont égaux[1] entre eux. »

d'autre part (proposition XLI) :

« Si un parallélogramme, et un triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera double du triangle. »

À partir des longueurs des trois côtés[modifier | modifier le code]

Pour une expression de l'aire d'un triangle dont les longueurs des côtés sont a, b et c et p le demi-périmètre [p=\dfrac{a+b+c}{2}], on peut utiliser la formule de Héron :

Aire = \dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

À partir des coordonnées des sommets[modifier | modifier le code]

L'aire d'un triangle est calculé à partir d'un parallélogramme.

L'aire du parallélogramme défini par deux vecteurs \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} est la norme de leur produit vectoriel :

 S_p = \left\|{ \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}}\right\| .

On peut calculer l'aire d'un triangle à partir de cette formule :

 S = \dfrac12 \left\|{ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}}\right\|.

Un repère orthonormé étant donné, l'aire du triangle ABC peut être calculée à partir des coordonnées des sommets.

Dans le plan, si les coordonnées de A, B et C sont données par A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) et C(x_C, y_C), alors l'aire S est la moitié de la valeur absolue du déterminant

S=\dfrac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B-x_A & x_C-x_A \\ y_B-y_A & y_C-y_A \end{pmatrix}\right| = \dfrac{1}{2}|(x_B-x_A)( y_C-y_A) - (x_C-x_A) (y_B-y_A)|.

L'aire du triangle ABC peut aussi se calculer à partir de la formule

S=\dfrac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\  y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \dfrac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big|.

Cette méthode se généralise en trois dimensions. L'aire du triangle ABCA = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_B, z_B) et C = (x_C, y_C, z_C) s'exprime comme

S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 }.

Note[modifier | modifier le code]

  1. En langage actuel, on parlerait d’une égalité des aires plutôt que d’une égalité entre figures.

Articles connexes[modifier | modifier le code]