Affinité (mathématiques)

En mathématiques, en géométrie en particulier, une affinité est une application affine ou linéaire égale à l'identité dans une direction et à une homothétie dans une autre.

Affinité vectorielle

Construction d'une affinité

Les affinités vectorielles sont les endomorphismes qui sont somme directe de l'identité et d'une homothétie. Plus précisément :

Soit $E\,$ un espace vectoriel et deux sous espaces supplémentaires $F\,$ et $G\,$ ($E=F\oplus G$) ;

l'affinité de base $F\,$ (ou sur $F\,$), de direction $G\,$ et de rapport $\lambda \,$ est l'unique endomorphisme $f\,$ qui se restreint à $F\,$ en l'identité, et à $G\,$ en l'homothétie de rapport $\lambda \,$ :

Si $x=x_{F}+x_{G}\,$ alors $f(x)=x_{F}+\lambda x_{G}\,$.

Caractérisation en dimension finie : endomorphisme diagonalisable ayant deux valeurs propres au plus dont une est l'unité.

Les affinités recouvrent :

• l'identité ($\lambda =1\,$)
• les projections, ou projecteurs ($\lambda =0\,$)
• les symétries, ou involutions linéaires ($\lambda =-1\,$), (se réduisant à l'identité si la caractéristique du corps est 2)
• les homothéties ( $G=E\,$)
• les dilatations, ou affinités hyperplanes, ($\dim G=1\,$).

Affinité ponctuelle

Étant donné un sous-espace affine $F\,$ d'un espace affine $E\,$ associé à ${\overrightarrow {E}}$ et une direction supplémentaire ${\overrightarrow {G}}$, l'affinité de base $F\,$ (ou sur $F\,$) de direction ${\overrightarrow {G}}\,$ et de rapport $\lambda$ est l'application définie par la construction :

1. pour tout point $M\,$ dans $E\,$ on trace l'unique sous-espace $G_{M}\,$ passant par $M\,$ et de direction ${\overrightarrow {G}}$ ;
2. $G_{M}\,$ coupe $F\,$ en un point unique $H\,$ ;
3. l'image de $M\,$ par $f\,$ est alors le point $M'\,$ tel que ${\overrightarrow {HM'}}=\lambda {\overrightarrow {HM}}$.

Les applications affines de partie linéaire une affinité vectorielle sont des affinités ponctuelles à condition d'avoir au moins un point fixe ; dans le cas général, on obtient des affinités glissées, composées d'une affinité et d'une translation de vecteur parallèle à la direction de l'affinité.