Affinité (mathématiques)
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En mathématiques, en géométrie en particulier, une affinité est une application affine ou linéaire égale à l'identité dans une direction et à une homothétie dans une autre.
[modifier] Affinité vectorielle
Les affinités vectorielles sont les endomorphismes qui sont somme directe de l'identité et d'une homothétie. Plus précisément :
Soit 
un espace vectoriel et deux sous espaces supplémentaires 
et 
(
) ;
l'affinité de base (ou sur ), de direction et de rapport 
est l'unique endomorphisme 
qui se restreint à en l'identité, et à en l'homothétie de rapport :
Si 
alors 
.
Caractérisation en dimension finie : endomorphisme diagonalisable ayant deux valeurs propres au plus dont une est l'unité.
Les affinités recouvrent :
- l'identité (
) - les projections, ou projecteurs (
) - les symétries, ou involutions linéaires (
), se réduisant à l'identité si la caractéristique du corps est 2) - les homothéties (
) - les dilatations, ou affinités hyperplanes, (
).
[modifier] Affinité ponctuelle
Étant donné un sous-espace affine d'un espace affine associé à 
et une direction supplémentaire 
, l'affinité de base (ou sur ) de direction 
et de rapport λ est l'application définie par la construction :
- pour tout point
dans on trace l'unique sous-espace 
passant par et de direction ; - coupe en un point unique
; - l'image de par est alors le point
tel que 
.
Les applications affines de partie linéaire une affinité vectorielle sont des affinités ponctuelles à condition d'avoir au moins un point fixe ; dans le cas général, on obtient des affinités glissées, composées d'une affinité et d'une translation de vecteur parallèle à la direction de l'affinité.
