54-graphe de Ellingham-Horton

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54-Graphe de Ellingham-Horton
Image illustrative de l'article 54-graphe de Ellingham-Horton
Représentation du 54-graphe de Ellingham-Horton.

Nombre de sommets 54
Nombre d'arêtes 81
Distribution des degrés 3-régulier
Rayon 9
Diamètre 10
Maille 6
Automorphismes 32
Nombre chromatique 2
Indice chromatique 3
Propriétés Cubique
Régulier

Le 54-graphe de Ellingham-Horton est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 54 sommets et 81 arêtes. Il est construit comme contre-exemple à une conjecture de Tutte.

Histoire[modifier | modifier le code]

En 1971, le mathématicien et cryptanalyste William Tutte conjecture qu'il n'existe pas de graphe 3-sommet-connexe qui soit cubique, biparti et non-hamiltonien[1]. Mais J. D. Horton trouve un contre-exemple à 96 sommets, le graphe de Horton, publié par Bondy & Murty en 1976[2].

Après cela, d'autres contre-exemples sont découverts. En 1982, c'est un graphe à 92 sommets, encore construit par Horton (le 92-graphe de Horton)[3], puis, en 1983, Owens trouve un contre-exemple d'ordre 78[4].

Avec Ellingham, Horton publie deux contre-exemples à la conjecture de Tutte : un graphe d'ordre 78 en 1981 (le 78-graphe de Ellingham-Horton)[5] et un graphe d'ordre 54 en 1983 (le 54-graphe de Ellingham-Horton)[6]. À l'heure actuelle, ce graphe à 54 sommets est le plus petit graphe non-hamiltonien biparti cubique 3-sommet-connexe connu.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Le diamètre du 54-graphe de Ellingham-Horton, l'excentricité maximale de ses sommets, est 10, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 9 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloration[modifier | modifier le code]

Le nombre chromatique du 54-graphe de Ellingham-Horton est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du 54-graphe de Ellingham-Horton est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) William Tutte, « On the 2-Factors of Bicubic Graphs », Discrete Mathematics, Elsevier, vol. 1, no 2,‎ 22 mars 1971, p. 203-208 (lien DOI?).
  2. (en) J. A. Bondy et U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, New York, North Holland,‎ 1976 (ISBN 978-0-444-19451-0, lire en ligne), p. 240
  3. (en) J. D. Horton, « On two-factors of bipartite regular graphs », Discrete Mathematics, vol. 41, no 1,‎ 1982, p. 35–41 (lien DOI?).
  4. (en) P. J. Owens, « Bipartite cubic graphs and a shortness exponent », Discrete Mathematics, vol. 44, no 3,‎ 1983, p. 327–330 (lien DOI?).
  5. (en) M. N. Ellingham, Non-Hamiltonian 3-connected cubic partite graphs, Dept. of Math., Univ. Melbourne,‎ 1981.
  6. (en) M. N. Ellingham et J. D. Horton, « Non-Hamiltonian 3-connected cubic bipartite graphs », Journal of Combinatorial Theory, Series B, vol. 34, no 3,‎ 1983, p. 350–353 (lien DOI?).