22 / 7 dépasse π

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Les preuves du célèbre résultat mathématique que le nombre rationnel 22 / 7 est supérieur à π remontent à l'Antiquité. Stephen Lucas qualifie cette proposition de « l'un des plus beaux résultats liés à l'approximation de π[1] ». Julian Havil (de) met fin à une discussion sur les fractions approchant π avec ce résultat, le décrivant comme « impossible de ne pas être mentionné » dans ce contexte[2].

Le but n'est pas d'abord de convaincre le lecteur que 22 / 7 est en effet plus grand que π ; des méthodes de calcul systématiques de la valeur de π existent. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que 22 / 7 > π, nécessitant uniquement des techniques élémentaires de calcul. Sa simplicité et son élégance résultent de ses liens avec la théorie des approximations diophantiennes.

Démonstration[modifier | modifier le code]

On peut montrer cette inégalité par le calcul de l'intégrale

0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}~\mathrm dx=\frac{22}7-\pi.

Le nombre \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}~\mathrm dx est strictement positif car la fonction x\mapsto\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} est continue et strictement positive sur l'intervalle ]0, 1[.

Il reste à démontrer que l'intégrale a effectivement pour valeur la quantité désirée :

\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}~\mathrm dx =\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}~\mathrm dx (développement du numérateur)
=\int_0^1\left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac4{1+x^2}\right)\mathrm dx (par décomposition en éléments simples de l'intégrande)
=\left[\frac{x^7}7-\frac{2x^6}3+ x^5-\frac{4x^3}3+4x-4\arctan x\,\right]_0^1 (intégration définie)
=\frac17-\frac23+1-\frac43+4-\pi\ =\frac{22}7-\pi. (addition)

Dalzell[3] donne un résultat plus fin en bornant la différence avec l'étude du dénominateur. On a ainsi

\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}2~\mathrm dx < \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}~\mathrm dx < \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}1~\mathrm dx.

Ce qui donne après calcul :

\frac1{1260}<\frac{22}7-\pi<\frac1{630}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Proof that 22/7 exceeds π » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Stephen K. Lucas, « Integral proofs that 355/113 > π », Australian Mathematical Society Gazette, vol. 32, no 4,‎ 2005, p. 263-266 (lire en ligne)
  2. (en) Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, Princeton University Press,‎ 2003 (ISBN 978-0-691-09983-5, LCCN 2002192453), p. 96
  3. (en) D. P. Dalzell, « On 22/7 », J. London Math. Soc., vol. 19,‎ 1944, p. 133-134 (DOI 10.1112/jlms/19.75_Part_3.133)