Éléments d'Euclide

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Couverture de la première édition anglaise des Éléments par Henry Billingsley, 1570

Les Éléments (en grec ancien Στοιχεία / stoïkheïa) sont un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers 300 av. J.-C. Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitifs.

Les Éléments sont le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et systématique de la géométrie et son influence sur le développement de la logique et de la science occidentale est fondamentale. Il s'agit probablement du recueil qui a rencontré le plus de succès au cours de l'Histoire : les Éléments furent l'un des premiers livres imprimés (Venise, 1482) et n'est précédé que par la Bible pour le nombre d'éditions publiées (largement plus de 1 000). Pendant des siècles, il a fait partie du cursus universitaire standard.

Principes[modifier | modifier le code]

Une des plus anciennes versions connues des Éléments : le P. Oxy. 29 (en) (fragment daté des environs de l'an 300, ou peut-être de l'an 100).

La méthode d'Euclide a consisté à baser ses travaux sur des définitions, des « demandes » (postulats), des « notions ordinaires » (axiomes) et des propositions (problèmes résolus). Par exemple, le livre I contient 35 définitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires.

Postulats du livre I :

  1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
  2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
  3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.
  4. Tous les angles droits sont congruents.
  5. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

Notions ordinaires du livre I[1] :

  1. Deux choses égales à une troisième sont aussi égales entre elles.
  2. Si des grandeurs égales sont ajoutées à d'autres grandeurs également égales entre elles, leurs sommes sont égales.
  3. Si des grandeurs égales sont soustraites à d'autres grandeurs égales, leurs différences sont égales.
  4. Des grandeurs qui coïncident, s'adaptent avec une autre, sont égales entre elles.
  5. Le tout est plus grand que la partie.

Postérité[modifier | modifier le code]

Codex Vaticanus 190

Le succès des Éléments est dû principalement à la présentation logique de la quasi-totalité du savoir mathématique dont Euclide disposait. L'utilisation systématique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduit d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles.

Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néanmoins, les Éléments restent une œuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence considérable. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei et particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leurs propres travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leurs propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives.

Des cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, dont on déduit le postulat des parallèles : « en un point extérieur à une droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle », a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du XIXe siècle, il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries non euclidiennes cohérentes en prenant sa négation.

Histoire[modifier | modifier le code]

Les premières traces écrites des notions de longueurs et d'orthogonalité sont babyloniennes et remontent à une période située entre 1900 et 1600 av. J.-C. On y trouve la connaissance du théorème de Pythagore au moins pour le cas d'un triangle dont les côtés sont de longueurs respectives trois, quatre et cinq.

Le livre d'Euclide constitue la première formalisation de la géométrie. Bien que la plupart des théorèmes lui soient antérieurs, les Éléments étaient suffisamment complets et rigoureux pour éclipser les œuvres géométriques qui les ont précédés et peu de choses sont connues sur la géométrie pré-euclidienne.

Son auteur Euclide d'Alexandrie (325-265 av. J.-C.) fut probablement un disciple d'Aristote (-384-322 av. J.-C.). Son histoire ainsi que celle de son livre sont mal connues. Trois hypothèses sont avancées à son sujet. Euclide est:

  • soit un personnage historique principal auteur des Éléments,
  • soit à la tête d'une école mathématique
  • soit un nom d'auteur qu'a utilisé un groupe de mathématiciens pour rédiger une compilation, ce nom serait alors une référence au philosophe grec Euclide de Mégare (450-380 av. J.-C.) [2].

La première hypothèse a été admise sans l'ombre d'un doute pendant plus de 2000 ans, et elle reste encore la plus vraisemblable. En revanche, il est pratiquement établi qu'Euclide était à la tête d'une école mathématique vigoureuse et ses disciples ont certainement contribué à la rédaction[3] des Éléments. Hippocrate de Chios (470-410 av. J.-C.) est l'auteur du contenu des livres I et II des éléments, si on en croit le philosophe byzantin Proclos (411-487). Il écrit de lui « Il était le premier à écrire pour la compilation maintenant connue sous le nom des Éléments[4]. »

L'ouvrage fut traduit en arabe après avoir été donné aux Arabes par l'Empire byzantin, puis traduit en latin d'après les textes arabes (Adelard de Bath au XIIe siècle, repris par Campanus de Novare). La première édition imprimée date de 1482 et le livre fut depuis traduit dans une multitude de langues et publié dans plus de 1 000 éditions différentes. Des copies du texte grec existent toujours, par exemple dans la bibliothèque du Vatican ou à la Bodleian Library à Oxford, mais ces manuscrits sont de qualité variable et toujours incomplets[5]. Par analyse des traductions et des originaux, il a été possible d'émettre des hypothèses sur le contenu originel, dont il ne subsiste aucune copie intégrale.

Axiomatisation ultérieure[modifier | modifier le code]

Les mathématiciens du XIXe siècle découvrirent que les démonstrations d'Euclide nécessitent des hypothèses additionnelles, non spécifiées dans le texte original, par exemple l'axiome de Pasch. David Hilbert modifia la liste pour en fournir un jeu complet en 1899 dans un article intitulé Les fondements de la géométrie. La liste des axiomes de Hilbert en contient 20.

Livres[modifier | modifier le code]

Les Éléments sont organisés comme suit :

Il existe deux livres apocryphes, présents en annexe dans la traduction de Heath.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Léonard Milodinow, Dans l’œil du compas : la géométrie d'Euclide à Einstein, p. 49. Voir aussi la traduction de Peyrard, légèrement différente.
  2. D'après Jean Itard, Les livres arithmétiques d'Euclide, Paris, Libr. Albert Blanchard,‎ 1962.
  3. Biographie d'Euclide dans Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990)
  4. Cf. Thomas Heath, A History of Greek Mathematics I, Oxford,‎ 1921, p. 182-202.
  5. Cf. Folkerts 1989.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Les Éléments d'Euclide, traduction François Peyrard, éd. Blanchard Paris, 1993 (1re éd. 1804)
  • Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions]
  • (en) Menso Folkerts, The development of mathematics in medieval Europe: the Arabs, Euclid, Regiomontanus, Munich, 1989 (en ligne) ; repr. Ashgate Variorum 2006 (ISBN 978-0-86078-957-4)

Articles connexes[modifier | modifier le code]