Équivalent

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En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.

Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Les opérations sur les équivalents sont un outil de calcul.

L'équivalence pour les suites

Définitions

Soient $u_n$ et $v_n$ deux suites à valeurs réelles ou complexes.

On dit que $u_n$ est équivalente à $v_n$, et on note $u_n\sim v_n$, si la suite $u_n-v_n$ est négligeable devant la suite $v_n$.

En utilisant la notation petit "o", ceci s'écrit : $u_n=v_n+o(v_n)$, et se traduit par l'existence d'une suite $\varepsilon_n$ qui tend vers zéro et vérifie $u_n=(1+\varepsilon_n)v_n$ à partir d'un certain rang.

Propriétés

• Dans le cas particulier où la suite $v_n$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, on a :

$u_n\sim v_n\Leftrightarrow\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=1.$

• En particulier si $\ell$ est une constante non nulle :

$u_n$ converge vers $\ell$ si et seulement si elle est équivalente à la suite constante égale à $\ell$.

• La relation « être équivalent à » est une relation d'équivalence.

Exemples

• Un équivalent de la somme partielle $H_n$ d'ordre $n$ de la série harmonique est $\ln(n).$
• Un équivalent célèbre est la formule de Stirling : $n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n.$
• Soit $\pi$ la suite dont le $n$-ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$. Le théorème des nombres premiers affirme que $\pi(n)\sim\frac n{\ln n}.$

L'équivalence pour les fonctions

Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions, définies sur une partie $A$ de ${}^\R$, et à valeurs dans ${}^{\mathbb K=\R}$ ou ${}^\C$, et soit $a$ un point adhérent à $A$ ($a$ peut être un réel ou ${}^{+\infty}$ ou ${}^{-\infty}$).

On dit que $f$ est équivalente à $g$ en $a$, et on note $f\sim_a g$ (ou simplement $f\sim g$ lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point $a$ que l'on considère) s'il existe une fonction $\varepsilon$ définie sur un voisinage $V$ de $a$ telle que :

• $\lim_a \varepsilon = 0$
• $\forall x\in (V\cap A)\setminus\{a\},~f(x)=(1+\varepsilon(x))g(x).$

Propriétés

• Dans le cas particulier où $g$ est non nulle au voisinage de $a$, on a :

$f\sim_a g\Leftrightarrow\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1.$

• En particulier, si $\ell$ est un élément non nul de $\mathbb K$ :

$f\sim_a\ell\Leftrightarrow\lim_af=\ell.$

• La relation $\sim_a~$ est une relation d'équivalence.

• Si $f$ et $g$ sont à valeurs réelles et si elles sont équivalentes en $a$, alors
  • elles ont même signe « localement autour de $a$ », c'est-à-dire sur un certain voisinage de $a$,
  • si $\lim_ag=+\infty$ alors $\lim_af=+\infty$ (et de même avec $-\infty$).

• En général (voir l'article Opérations sur les équivalents), les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation « être équivalent à ». Cependant, l'addition et la composition posent des problèmes.

Remarques

• On peut généraliser cette définition en considérant des fonctions
  • définies sur une partie $A$ d'un espace topologique autre que ${}^\R$
  • à valeurs dans un espace vectoriel normé sur ${}^{\mathbb K}$, ou même dans un espace vectoriel topologique sur un corps valué ${}^{\mathbb K}$ autre que ${}^\R$ ou ${}^\C$.
• La notion d'équivalence de suites est un cas particulier de celle d'équivalence de fonctions.
• La définition précédente est plus naturelle et s'exprime mieux^{[réf. nécessaire]} dans le cadre des espaces de germes de fonctions (en).