Équivalence d'homotopie
En mathématiques, une équivalence d'homotopie est une application admettant une réciproque à homotopie près. Autrement dit, deux applications sont des équivalences d'homotopie réciproques si leurs composées sont homotopes à l'identité sur leurs espaces de départ respectifs. En particulier, toute équivalence d'homotopie est un quasi-isomorphisme, c'est-à-dire qu'elle induit un isomorphisme en homologie.
Cette définition s'applique aux applications continues entre espaces topologiques, mais aussi aux morphismes de complexes différentiels.
L'équivalence d'homotopie est une relation d'équivalence moins fine que l'homéomorphisme (ou l'isomorphisme de complexes). Deux espaces reliés par une équivalence d'homotopie sont dits homotopiquement équivalents et appartiennent ainsi au même type d'homotopie.
Deux espaces sont homotopiquement équivalents si et seulement s'ils sont tous deux rétracts par déformation (en) d'un même espace.[réf. souhaitée]
[modifier] Exemples
- Un espace contractile est un espace homotopiquement équivalent à un point.
- Une partie d'un espace topologique est appelée un rétract faible par déformation[1] si son inclusion est une équivalence d'homotopie. C'est une condition légèrement plus faible que celle d'être un rétract par déformation[1],[2].
- Un cercle est homotopiquement équivalent au plan privé d'un point et au ruban de Möbius.
- La surface du tore privée d'un point est homotopiquement équivalente à un bouquet de deux cercles.
[modifier] Notes et références
- (en) Edwin H. Spanier (de), Algebraic topology, p. 30
- Michel Zisman, Topologie algébrique élémentaire, Armand Colin, 1972, p. 54
