Équation normale

[modifier] Droite du plan

Dans un plan affine euclidien, l'équation d'une droite affine $ax+by+c=0$ est normale si et seulement si $a^2+b^2=1$ . $a$ et $b$ sont alors les cosinus directeurs de la normale $N$ à la droite passant par l'origine, c'est-à-dire que $a$ peut s'écrire $cos( \alpha )$ où $\alpha$ est l'angle entre l'axe $x$ et la normale, et que $b$ peut s'écrire $cos(\beta)$ où $\beta$ est l'angle entre l'axe $y$ et la normale. En deux dimensions (plan affine), $\beta = pi/2 - \alpha$ , c'est-à-dire $cos(\beta)=sin(\alpha)$ et $sin(\beta)=cos(\alpha)$ , donc effectivement $cos(\alpha)^2 + cos(\beta)^2 = 1$ mais lorsqu'on monte dans les dimensions supérieures, il n'existe plus de relations triviale entre les cosinus directeurs, sinon que la somme de leurs carrés doit être égale à 1.
Une droite du plan admet exactement deux équations normales qui correspondent aux deux choix possibles de vecteur normal normé.
L'avantage de l'équation normale est que si $M$ est un point de coordonnées $(x,y)$ , la distance du point $M$ à la droite est égale à $|{ax+by+c}|$ .

Dans un espace affine euclidien de dimension 3, l'équation d'un plan affine $ax+by+cz+d=0$ est normale si et seulement si $a^2+b^2+c^2=1$ .
Un plan de l'espace admet exactement deux équations normales qui correspondent aux deux choix possibles de vecteur normal normé.
L'avantage de l'équation normale est que si $M$ est un point de coordonnées $(x,y,z)$ , la distance du point $M$ au plan est égale à $|{ax+by+cz+d}|$ .
On peut généraliser à un hyperplan.