Équation intégrale de Fredholm

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En mathématiques, l'équation intégrale de Fredholm est une équation intégrale étudiée par Ivar Fredholm. La caractéristique principale d'une équation de Fredholm est que les bornes d'intégration sont constantes.

Son étude donne naissance à la théorie de Fredholm (en), à l'étude des noyaux de Fredholm (en) et des opérateurs de Fredholm.

Équation de Fredholm du premier type[modifier | modifier le code]

Il s'agit d'une équation intégrale de la forme :

f(x) = \int_a^b K(x,t) \Phi (t) dt

La notation est celle d'Arfken et Weber[1]. Ici la fonction inconnue est Φ, tandis que f et K sont des fonctions connues. La fonction de deux variables K est souvent appelée la fonction opérateur intégral du noyau.

Article détaillé : Opérateur intégral.

Équation de Fredholm du second type[modifier | modifier le code]

À la différence du cas précédent, la fonction inconnue apparaît à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de l'intégrale :

 \Phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,t) \Phi(t) dt

Le facteur inconnu λ est un paramètre qui joue le même rôle que la notion de valeur propre en algèbre linéaire.

Références[modifier | modifier le code]

  1. George Arfken et Hans Weber, Mathematical Methods for Physicists, Harcourt/Academic Press, 2000