Équation différentielle linéaire d'ordre un

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Les équations différentielles linéaires d'ordre un sont des équations différentielles de la forme

ay' + by = c\,

a, b et c sont des fonctions.

Ces équations peuvent être résolues par des procédés systématiques, faisant appel au calcul de primitives. Dans certains cas particuliers, par exemple lorsque c est nul (on parle alors d'équations différentielles linéaires homogènes), on peut espérer obtenir des expressions explicites des solutions à l'aide des fonctions usuelles.

En toute rigueur, il faut utiliser la dénomination équations différentielles linéaires scalaires d'ordre un, pour signifier que la fonction inconnue y est à valeurs réelles ou complexes. L'équation différentielle matricielle AY'+BY=C, avec Y et C vecteurs colonnes et A et B matrices carrées, est en effet elle aussi une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Cette acception plus générale est étudiée dans l'article équation différentielle linéaire.

Équation différentielle linéaire homogène[modifier | modifier le code]

À coefficients constants[modifier | modifier le code]

Ce sont les équations qui se ramènent à y' + ky = 0k est un réel. On rencontre ce type d'équations

  • avec k positif dans la modélisation de la décroissance radioactive dans un milieu homogène et fermé ;
  • avec k négatif lors de la modélisation de la croissance d'une population. Ce modèle possède cependant ses limites, la population ne pouvant pas, dans un milieu fermé, croître indéfiniment. On lui préfère alors le modèle de Verhulst ou le modèle de Gompertz.

Les solutions d'une telle équation sont les fonctions définies sur tout \mathbb{R} par

f(x) = Ce^{-kx}~

C est un réel dont la valeur se détermine dès que sont connues les conditions initiales : si pour x_0 on a f(x_0)=y_0 alors  C = y_0e^{kx_0}.

Cas général[modifier | modifier le code]

Dans le cas général, l'équation différentielle linéaire homogène s'écrit

a(x)y'(x)+ b(x)y(x)= 0,

ou en abrégé :

ay'+by=0.

En travaillant sur un intervalle I où la fonction a ne s'annule pas, cette équation est équivalente à

y'+\frac ba~y=0.

Si y est une solution non constamment nulle, soit J un sous-intervalle maximal de I sur lequel y ne s'annule jamais donc est de signe constant. L'équation équivaut alors à

\frac{y'}y=-\frac ba

ou encore, en notant A une primitive de la fonction b/a :

\ln|y|=-A+c

c est une constante, c'est-à-dire

|y|=Ce^{-A}

C = ec est une constante strictement positive, ou encore

y=Ke^{-A}

K = ±C est une constante non nulle.

On constate qu'une telle expression est en fait une solution sur I tout entier et qui ne s'annule jamais (autrement dit J = I) et qu'en autorisant la valeur K = 0 on ne fait que rajouter la fonction nulle, solution triviale. L'ensemble des solutions est donc formé des fonctions, définies sur I, de la forme

y(x) =Ke^{-A(x)}\,

K est une constante réelle dont la valeur se détermine par la donnée des conditions initiales.

Le calcul de primitive nécessaire n'est pas toujours réalisable à l'aide des fonctions usuelles, la solution peut donc n'avoir qu'une expression sous forme d'intégrale.

Équation différentielle linéaire avec second membre[modifier | modifier le code]

Si l'équation différentielle possède un second membre (si c est une fonction non nulle), il suffit de trouver une solution particulière f_0 de l'équation pour les connaître toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions f_0 + gg est une solution générale de l'équation homogène.

Le problème est souvent de déterminer cette solution particulière.

Si c est la somme de plusieurs fonctions c_1 et c_2, on peut chercher une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c_1, puis une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c_2, puis faire la somme de ces deux solutions particulières. On obtient alors une solution particulière de l'équation de départ.

Cas où a, b et c sont des constantes non nulles[modifier | modifier le code]

Nous obtenons des équations du type y' = my + p. Ces équations servent à modéliser, par exemple, la charge ou la décharge d'un condensateur dans un circuit RC.

L'ensemble des solutions sont les fonctions f définies sur ℝ par

 f(x) = Ce^{mx}-\frac{p}{m}

C est un réel se déterminant par la donnée des conditions initiales, par exemple, f(x_0) = y_0, ce qui donne alors :

 f(x) =\left(y_0+\frac{p}{m}\right)e^{-mx_0}e^{mx}-\frac pm.

Cas où a et b sont des constantes non nulles et c une fonction polynôme ou trigonométrique[modifier | modifier le code]

On cherchera alors une solution particulière de la forme

  • d'un polynôme de degré n si c est un polynôme de degré n ;
  • d'une combinaison linéaire de \cos(\omega x + \phi) et \sin(\omega x+ \phi) si c(x) = A \cos(\omega x + \phi) + B \sin(\omega x + \phi).

Cas général[modifier | modifier le code]

On résout de manière générale une équation avec second membre ay'+by=c par la méthode de variation des constantes. Celle-ci consiste à se ramener, par un changement de fonction variable, à un problème de calcul de primitive.

On suppose que, sur l'intervalle d'étude, la fonction a ne s'annule pas.

On écrit la solution générale de l'équation homogène associée az'+bz=0 :

z_K(x)= Kz_1(x),K\in\R, avec z_1(x)=e^{-A(x)}.

On prend pour nouvelle fonction variable la fonction k définie par la relation

y(x) = k(x)z_1(x),

ce qui explique la formulation imagée : on fait « varier la constante », en fait on la remplace par une fonction.

En remplaçant, dans l'équation initiale, y par kz1 et y' par (kz1)' = k'z1 + kz'1, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale mais portant sur k :

a\left(k'z_1+kz'_1\right)+bkz_1=c
ak'z_1+k\left(az'_1+bz_1\right)=c
ak'z_1+k\times0=c
k'=\frac c{az_1}=\frac{ce^A}{a}.

En notant B une primitive de la fonction \frac{ce^A}{a}, l'ensemble des solutions est

k(x) = B(x) + C.

La solution générale s'écrit alors sous la forme

f(x) = (B(x) + C) e^{-A(x)},

soit finalement

f = \exp\left(
-\int\frac{b(x)}{a(x)}\mathrm dx
\right)
\left\{
C + \int \frac{c(x)}{a(x)}
\exp\left(\int \frac{b(x)}{a(x)}\mathrm dx\right)\mathrm dx
\right\}.

De nouveau, il faut réaliser un calcul de primitive, ce qui peut empêcher de donner l'expression de la solution à l'aide des fonctions usuelles.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Équation différentielle linéaire d'ordre deux