Équation différentielle homogène

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L'expression équation différentielle homogène a deux significations totalement distinctes et indépendantes.

Équation différentielle du premier ordre, homogène de degré n

Une équation différentielle du premier ordre mais non nécessairement linéaire est dite homogène de degré n si elle peut s'écrire sous la forme

$\frac{dy}{dx}=F(x,y)$

où F est une fonction homogène de degré n, c'est-à-dire vérifiant

$F(tx,ty)=t^nF(x,y)\,$.

Autrement dit (en posant h(u)=F(1,u)), c'est une équation qui s'écrit

$\frac{dy}{dx}=x^nh\left(\frac y x\right)$.

Le cas n = 0

Le cas le plus étudié est celui où le degré d'homogénéité est 0, à tel point que dans ce cas on ne mentionne même pas le degré. La résolution d'une telle équation se fait par séparation des variables : grâce à la substitution $u(x)=\frac{y(x)} x$, l'équation homogène

$\frac{dy}{dx}=h\left(\frac y x\right)$.

se transforme en une équation à variables séparées :

$\frac{u'(x)}{h\left(u(x)\right)-u(x)}=\frac 1 x$.

Équation différentielle linéaire homogène

Une équation différentielle linéaire mais d'ordre quelconque est dite homogène si elle est de la forme

$Ly=0 \,$

Où l'opérateur différentiel L est une application linéaire et y est la fonction inconnue.

Exemples

$ay''(x) + by'(x) +cy(x)= 0$ est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants.

$a, b,c$ constantes supposées connues

$a(x)y'(x) + b(x)y(x) = 0$ est une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients variables

$a(x), b(x)$ fonctions supposées connues