Équation différentielle d'Euler

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En mathématiques, l'équation d'Euler est une équation différentielle linéaire de la forme suivante

a_n x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_0 y(x) = f(x)\, \qquad (a_n\neq 0)

Elle peut être ramenée par changement de variable à une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

Pour appliquer la théorie générale des équations linéaires, on s'intéresse dans un premier temps à l'équation homogène associée, et en se plaçant sur un intervalle où x^n ne s'annule pas : ]-\infty,0[ ou ]0,+\infty[. Dans le premier cas on posera le changement de variable x=-e^u et dans le second x=e^u. On pose ensuite g(u)=y(e^u). Grâce à ces changements de variables, l'équation différentielle d'Euler est alors ramenée à une équation différentielle à coefficients constants, en g. Cette dernière équation est facile à résoudre.