Équation différentielle d'Euler

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En mathématiques, l'équation d'Euler est une équation différentielle linéaire de la forme suivante

$a_n x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_0 y(x) = f(x)\, \qquad (a_n\neq 0)$

Elle peut être ramenée par changement de variable à une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

Pour appliquer la théorie générale des équations linéaires, on s'intéresse dans un premier temps à l'équation homogène associée, et en se plaçant sur un intervalle où $x^n$ ne s'annule pas : $]-\infty,0[$ ou $]0,+\infty[$. Dans le premier cas on posera le changement de variable $x=-e^u$ et dans le second $x=e^u$. On pose ensuite $g(u)=y(e^u)$. Grâce à ces changements de variables, l'équation différentielle d'Euler est alors ramenée à une équation différentielle à coefficients constants, en $g$. Cette dernière équation est facile à résoudre.