Équation de la cafetière

L'équation de la cafetière est, de manière usuelle, une équation différentielle linéaire d'ordre un à coefficients constants, correspondant à une variation de concentration (massique ou molaire) lors d'une opération de dilution par exemple.

Mise en équation (cas de concentrations molaires)

Soit un récipient de volume constant $V$, contenant initialement un volume $V$ d'une solution de concentration $C_0$. On verse dans ce récipient avec un débit volumique $Q$ une solution de concentration constante $K$. Selon quelle fonction évolue la concentration $c(t)$ à l'intérieur du récipient ?

Soit n(t) la quantité d'éléments en solution. À chaque instant, on a donc :

$c(t) = \frac{n(t)}{V}\,$

Le récipient étant de volume constant $V$, la variation de quantité d'éléments en solution $dn,$ pendant un instant $dt,$ est égal à la différence entre la quantité introduite ($Q*K*dt,$) et la quantité qui s'en échappe ($Q*c(t)*dt,$) :

$dn = KQdt - c(t)Qdt\,$

D'où :

$\frac{d}{dt}c(t) = \frac{KQ}{V} - \frac{Q}{V}c(t)\,$

Et comme $c(0) = C_0$, on a finalement :

$c(t) = K + (C_0 - K) e^{-\frac{Q}{V}t}$

Remarque : Lorsque t tend vers l'infini, la concentration dans le récipient tend bien vers $K$.

Application

Cette équation traduit notamment l'évolution de la concentration de café dans une cafetière placée dans un évier, lorsqu'on y fait couler de l'eau claire ; c'est d'ailleurs cette application qui lui donne son nom.