Équation de d'Alembert

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En physique, dans l'étude des ondes et de leur propagation, l’équation de d'Alembert décrit la variation dans le temps et dans l'espace d'une quantité ondulante. Elle est nommée d'après Jean le Rond d'Alembert qui l'énonça dans ses Recherches sur les cordes vibrantes[1] en 1747, comme solution du problème de la corde vibrante. C'est historiquement la première équation d'onde.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit \phi une quantité, scalaire ou vectorielle, dépendant de la position et du temps. Alors elle vérifie l'équation de d'Alembert lorsque :

\Delta \phi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=0

avec Δ l'opérateur laplacien (vectoriel ou non) et c une quantité scalaire positive, appelée vitesse ou célérité de l'onde. On peut encore l'écrire, en introduisant l'opérateur d'alembertien \Box :

\Box \phi = 0

ou bien encore :

\Delta \phi - \frac{1}{c^2} \partial^2_t \phi = 0

avec la notation courante en électromagnétisme de la dérivée \partial_i par rapport à i.

Il s'agit d'une équation de conservation dans l'espace-temps : toute variation dans le temps est compensée par une variation dans l'espace. Elle néglige de fait tout effet diffusif et toute anisotropie. Cette relation étant linéaire, on peut montrer de plus qu'une onde vérifiant l'équation de d'Alembert n'est pas déformée au cours de sa propagation. C'est la plus simple des équations d'onde.

Les cas plus complexes ne peuvent plus être traités par l'équation de d'Alembert, mais par d'autres modèles comme les équations des télégraphistes par exemple. Leurs solutions ne sont toutefois pas triviales.

Manifestations et résolution[modifier | modifier le code]

Cette équation différentielle, linéaire, apparaît dans de nombreux phénomènes ondulatoires comme approximation au premier ordre. En particulier, d'Alembert l'appliqua aux mouvements de la corde vibrante.

On peut l'appliquer, moyennant certaines approximations, à l'étude des ondes dans les fluides. Pour la dérivation de l'équation des ondes acoustiques à partir de l'équation d'Euler des fluides parfaits, on pourra consulter le schémas très complet : équation d'Euler / équation des ondes, ou bien l'article équation de propagation des ondes acoustiques.

En travaillant les équations de Maxwell, on montre que les champs électrique et magnétique vérifient une équation de d'Alembert, propageant ainsi une onde électromagnétique.

Solution générale[modifier | modifier le code]

Les solutions de l'équation de d'Alembert sont exactement les fonctions \phi, dont la projection sur chacun des axes de coordonnés est de la forme :

\phi_i \left( x_i, t \right) = f_{+} \left( t - \frac{x_i}{c} \right) + f_{-} \left( t + \frac{x_i}{c} \right)

avec xi chacune des coordonnées, t le temps et c la vitesse de l'onde. Les deux fonctions f_{+} et f_{-} ne dépendent que d'une variable et sont définies à partir des conditions initiales.

Elles représentent respectivement une onde se propageant sans se déformer vers +∞ et une onde se propageant sans se déformer vers -∞.La grandeur s(x,t) = f_{+}(t-x/c) s'est donc propagée dans la direction des x croissants, appelée direction de propagation, sans déformation et à une vitesse égale à c : on parle alors d'onde et c est appelée célérité de l'onde. La fonction f_{-}(t+x/c) correspond à une propagation vers les x négatifs. On parle pour f_{+} d'onde progressive et pour f_{-} d'onde régressive.

Solutions harmoniques[modifier | modifier le code]

L'équation de d'Alembert étant par ailleurs linéaire, on peut sans restriction considérer uniquement les solutions sinusoïdales, dites harmoniques ou monochromatiques. En effet, toute configuration peut être ramenée à une somme de sinusoïdes par la transformée de Fourier.

Supposons l'onde unidimensionnelle, selon x, se propageant vers +∞. On peut l'écrire :

\phi \left( x, t \right) = A \cos \left( kx - \omega t \right)

avec k le nombre d'onde, A l'amplitude et ω la pulsation.

En dérivant deux fois par rapport à x, on obtient :

\partial^2_x \phi = - A k^2 \cos \left( kx - \omega t \right) = - k^2 \phi

En dérivant deux fois par rapport à t, on obtient :

\partial^2_t \phi = - A \omega^2 \cos \left( kx - \omega t \right) = - \omega^2 \phi

Elle vérifie donc l'équation de d'Alembert à la seule condition que :

k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}

et c comme ω sont des quantités positives, donc cela équivaut à :

k = \pm \frac{\omega}{c}

Cette dernière relation est appelée relation de dispersion.

Appliquée aux conditions initiales, cette décomposition en sinusoïdes permet notamment l'étude analytique de la propagation des ondes, ou la simulation informatique de tels phénomènes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean LE ROND D’ALEMBERT, Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration, Histoire de l’Académie des Sciences et Belles-Lettres de Berlin année 1747, Berlin, 1749, p. 214-249

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jean LE ROND D’ALEMBERT, Articles extraits de l'Histoire de l’Académie des Sciences et Belles-Lettres de Berlin année 1747, Berlin, 1749