Équation de Weierstrass

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En mathématiques, une équation de Weierstrass, aussi appelée forme de Weierstrass, est une forme simplifiée de l'équation d'une courbe elliptique. La simplification de la forme générale

$y^2+a_1 x y + a_3 y = x^3 +a_2 x^2 +a_4 x + a_6$

à la forme de Weierstrass peut se faire par changement de variable, mais dépend de la caractéristique du corps commutatif K sur lequel la courbe elliptique est définie (c'est-à-dire le corps auquel appartiennent les coefficients a_k).

Il y a trois types d'équations de Weierstrass.

• Si la caractéristique de K est différente de 2 et 3 (ce qui inclut les cas où elle est nulle, par exemple quand K est le corps des réels, des complexes ou des rationnels) alors l'équation de Weierstrass pour une courbe elliptique est de la forme

$y^2 = x^3 + ax + b$

où a, b sont des éléments de K.

• Si la caractéristique de K est 3 (par exemple si K est le corps fini à 3^r éléments) alors l'une des deux simplifications suivantes est applicable :

$y^2=x^3+ax^2+b$ (cas ordinaire)

$y^2=x^3+ax+b$ (cas supersingulier)

où a, b sont des éléments de K.

• Si la caractéristique de $K$ est 2 (par exemple si K est le corps fini à 2^r éléments) alors l'une des deux simplifications suivantes est applicable :

$y^2 + xy = x^3 + ax^2 + b$ (cas ordinaire)

$y^2 + cy = x^3 + ax + b$ (cas supersingulier)

où a, b (respectivement, a, b, c) sont des éléments de K.