Équation de Vlasov

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L'équation de Vlasov décrit l'évolution temporelle de la fonction de distribution f des particules de masse m et de charge q dans un plasma ou un faisceau de particules chargées en négligeant l'effet des collisions binaires. Elle s'écrit:

$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\bold p}{\gamma m} \cdot \frac{\partial f}{\partial \bold r}+q\cdot [\bold E+\bold p \times \bold B] \cdot \frac{\partial f}{\partial \bold v}=0$.

γ est l'énergie réduite (ou facteur de Lorentz) reliée à la quantité de mouvement par la relation :

$\gamma = \sqrt {1+\frac {p^2}{m^2c^2} }$.

Le champ électromagnétique $(\bold E,\bold B)$ tient compte des champs extérieurs appliqués aux particules ainsi que du champ électromagnétique moyen généré par les particules elles-mêmes. Ce dernier est solution des équations de Maxwell dont les termes sources sont alors donnés par :

$\rho = \sum_s q_s \int_{-\infty}^{+\infty} f_s(\bold{r},\bold{p},t) \, d\bold{p}$, la densité de charges.

$\bold{j} = \sum_s q_s \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bold p}{\gamma m} \cdot \, f_s(\bold{r},\bold{p},t) \, d\bold{p}$, la densité de courants.

Lorsque les collisions binaires ne sont pas négligeables, leur effet doit être introduit à droite du signe = dans l'équation de Vlasov, soit de manière spécifique (équation de Boltzmann) soit avec un modèle de multiples petites collisions (équation de Fokker-Planck).