Équation de Schwinger-Dyson

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L’équation de Schwinger-Dyson, d'après Julian Schwinger et Freeman Dyson, est une équation de la théorie quantique des champs. Étant donné une fonction bornée F sur les configurations du champ, alors pour tout vecteur d'état |\psi> (qui est solution de la théorie quantique des champs), il y a  :

<\psi|\mathcal{T}\{\frac{\delta}{\delta\phi}F[\phi]\}|\psi>=-i<\psi|\mathcal{T}\{F[\phi]\frac{\delta}{\delta\phi}S[\phi]\}|\psi>

avec S la fonction d'action et \mathcal{T} l'opération d'ordonnation du temps.

D'une même manière, dans la formulation de l'état de densité, pour tout état (valid) ρ, il y a :

\rho(\mathcal{T}\{\frac{\delta}{\delta\phi}F[\phi]\})=-i\rho(\mathcal{T}\{F[\phi]\frac{\delta}{\delta\phi}S[\phi]\})

Ces équations infinies peuvent être utilisées pour résoudre les fonctions de corrélation, sans perturbation.

On peut également réduire l'action S en la séparant : S[φ]=1/2 D-1ij φi φj+Sint[φ] avec pour premier terme la part quadratique et D-1 un tenseur covariant symétrique et réversible (antisymétrique pour les fermions) de rang 2 dans la notation de deWitt. Les équations peuvent être ré-écrites ainsi :

<\psi|\mathcal{T}\{F \phi^j\}|\psi>=<\psi|\mathcal{T}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{int,i}D^{ij}\}|\psi>

Si F est une fonction de φ, alors pour un opérateur K, F[K] est définie comme un opérateur qui remplace K par φ. Par exemple, si

F[\phi]=\frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\phi(x_1)\cdots \frac{\partial^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\phi(x_n)

et que G est une fonction de J, alors :

F[-i\frac{\delta}{\delta J}]G[J]=(-i)^n \frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac{\delta}{\delta J(x_1)} \cdots \frac{\partial^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\frac{\delta}{\delta J(x_n)} G[J].

S'il y une fonction analytique Z (appelée fonction génératrice) de J (appelée champ source) satisfaisant l'équation :

\frac{\delta^n Z}{\delta J(x_1) \cdots \delta J(x_n)}[0]=i^n Z[0] <\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)>,

alors l'équation de Schwinger-Dyson pour la génératrice Z est :

\frac{\delta S}{\delta \phi(x)}[-i \frac{\delta}{\delta J}]Z[J]+J(x)Z[J]=0

En développant cette équation en série de Taylor pour J proche de 0, le jeu entier des équations de Schwinger-Dyson est obtenue.