Équation de Schrödinger semi-linéaire

L'équation de Schrödinger semi-linéaire est une équation comportant un terme linéaire de type équation de Schrödinger et un terme de réaction non-linéaire :

$i {\partial u(t,x)\over\partial t} + \Delta u(t,x) + f(t, x, u(t,x)) = 0.$

Modélisation

L'équation de Schrödinger semi-linéaire intervient dans de nombreux domaines de la physique : propagation d'ondes, optique non-linéaire, modèles de lasers, modèles de plasma, etc.

Équation de Schrödinger cubique focalisante

$i {\partial u(t,x)\over\partial t} + \Delta u(t,x) + |u(t,x)|^2 u(t,x) = 0.$

L'Hamiltonien associé est :

$H(u) = \int \left( {1\over2} |\overrightarrow{\nabla} u(t,x)|^2 - {1\over4} |u(t,x)|^4 \right) dx.$

Équation de Schrödinger cubique défocalisante

$i {\partial u(t,x)\over\partial t} + \Delta u(t,x) - |u(t,x)|^2 u(t,x) = 0.$

L'Hamiltonien associé est :

$H(u) = \int \left( {1\over2} |\overrightarrow{\nabla} u(t,x)|^2 + {1\over4} |u(t,x)|^4 \right) dx.$

Solitons

Les solitons pour l'équation de Schrödinger sont des solutions particulières du type : $u(t,x) = Q(x) e^{i \omega t}$.

En dimension 1, l'équation de Schrödinger cubique est intégrable et peut être résolue avec une méthode de diffusion inverse. En particulier, l'interaction de deux solitons est explicite.

Bibliographie

• Introduction aux équations de Schrödinger non linéaires, J. Ginibre, Cours de DEA 1994-1995.

• Nonlinear Schrödinger equation.

• Inverse scattering transform.