Équation de Liouville

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Page d'aide sur les redirections Pour l'équation de Liouville dans les systèmes dynamiques, voir Théorème de Liouville (Hamiltonien).

En géométrie différentielle, l’équation de Liouville, du nom du mathématicien français Joseph Liouville, est une équation aux dérivées partielles non linéaire satisfaite par le facteur conforme f d'une métrique f^2 (dx^2 + dy^2) sur une surface de courbure de Gauss constante K :

\Delta \;\log f = -K f^2,

\Delta est l'opérateur de Laplace.

\Delta f= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} 
= 4 \frac{\partial }{\partial z} \frac{\partial f}{\partial  \bar z}

Solution générale[modifier | modifier le code]

Dans un domaine simplement connexe \Omega, la solution générale est donnée par :


u(z,\bar z) = \frac12
\ln \left(
4 \frac{  |\mathrm d f(z)/\mathrm dz|^2  }{ ( 1+K |f(z)|^2)^2 }
\right)

f est une fonction fonction méromorphe localement univalente et  1+K |f(z)|^2 [Quoi ?] quand  K<0 .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Équations de Gauss-Codazzi

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville's equation » (voir la liste des auteurs)