Équation de Born-Landé

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L'équation de Born-Landé est un moyen de calculer l'énergie réticulaire d'un composé ionique cristallin. En 1918[1] Max Born et Alfred Landé proposent une expression de l'énergie réticulaire dérivant du potentiel électrostatique du réseau et d'un terme d'énergie potentielle répulsive[2].

E = -\frac{N_AMz^+z^- e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0}(1-\frac{1}{n}) (en joules par mole)

avec:

 N_A = nombre d'Avogadro
 M = constante de Madelung, liée à la géométrie du réseau.
 z^+ = charge du cation en eV
 z^- = charge de l'anion en eV
e = charge de l'électron en coulombs, 1.6022 ×10−19 C
\epsilon_0 = permittivité du vide
4\pi \epsilon_0 = 1.112 ×10−10 C²/(J·m)
r_0 = distance entre l'ion et son plus proche voisin
{n} = facteur de Born, un nombre compris entre 5 et 12, déterminé théoriquement ou expérimentalement par mesure de compressibilité du solide[3].

Démonstration[modifier | modifier le code]

Le cristal ionique est modélisé comme étant un assemblage de sphères élastiques compressées ensembles par les attractions électrostatiques mutuelles des ions. Les distances à l'équilibre entre ions proviennent de répulsions à courte portée qui finissent par s'opposer aux attractions.

Potentiel électrostatique[modifier | modifier le code]

Le potentiel électrostatique E_c entre une paire d'ions de même charge ou de charge opposée est donné par:-

E_c = -\frac{z^+z^- e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0}

où:

 z^+ = charge du cation
z^- = charge de l'anion
e = charge de l'électron en coulombs, 1.6022 ×10−19 C
\epsilon_0 = permittivité du vide
4\pi \epsilon_0 = 1.112 ×10−10 C²/(J m)
 r_0 = distance entre les ions

Pour un réseau la somme des interactions entre tous les ions donne l'énergie de Madelung E_M:

E_M = -\frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r_0}

avec:

z = charge des ions
e = 1.6022 ×10−19 C
4\pi \epsilon_0 = 1.112 ×10−10 C²/(J m)
 M = constante de Madelung, liée à la géométrie du cristal

Terme Répulsif[modifier | modifier le code]

Born et Lande ont suggéré que la répulsion entre ions serait proportionnelle à  1/r^n (où r est la distance entre ions). L'énergie répulsive E_R, devient:

\,E_R = \frac{B}{r^n}

B = constante
r = distance entre ions
 n = facteur de Born, un nombre compris entre 5 et 12

Énergie totale[modifier | modifier le code]

L'énergie totale du réseau peut s'exprimer comme étant la somme des potentiels attractifs et répulsifs :

E = -\frac{z^+z^- e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0} + \frac{B}{r^n}

et l'énergie minimale (à la distance d'équilibre) est donnée par:

E = -\frac{N_AMz^+z^- e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0}(1-\frac{1}{n})

Énergies réticulaires calculées[modifier | modifier le code]

L'équation de Born-Landé donne une valeur satisfaisante d'énergie réticulaire[2].

Composé Energie réticulaire
calculée
(kJ/mol)
Energie réticulaire
expérimentale
(kJ/mol)
NaCl −756 −787
LiF −1007 −1046
CaCl2 −2170 −2255

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. I.D. Brown, The chemical Bond in Inorganic Chemistry, IUCr monographs in crystallography, Oxford University Press, 2002, ISBN 0-19-850870-0
  2. a et b David Arthur Johnson, Metals and Chemical Change, Open University, Royal Society of Chemistry, 2002,ISBN 0-85404-665-8
  3. Cotton, F. Albert; Wilkinson, Geoffrey; (1966). Advanced Inorganic Chemistry (2d Edn.) New York:Wiley-Interscience.