Équation d'Einstein

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L'équation d'Einstein ou équation de champ d'Einstein est l'équation aux dérivées partielles principale de la relativité générale. C'est une équation dynamique qui décrit comment la matière et l'énergie modifient la géométrie de l'espace-temps. Cette courbure de la géométrie autour d'une source de matière est alors interprétée comme le champ gravitationnel de cette source. Le mouvement des objets dans ce champ est décrit très précisément par l'équation de sa géodésique.

Forme mathématique de l'équation de champ d'Einstein[modifier | modifier le code]

L'équation de champ d'Einstein est généralement écrite de la manière suivante :

 R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R  \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu} .

R_{\mu \nu} est le tenseur de Ricci, R la courbure scalaire, g_{\mu \nu} le tenseur métrique de signature (+,-,-,-), \Lambda la constante cosmologique, G la constante gravitationnelle (environ 6,6742.10-11 m3kg-1s-2), c la vitesse de la lumière (exactement 299 792 458 m.s-1), \pi le nombre pi et T_{\mu \nu} le tenseur énergie-impulsion.

L'équation de champ d'Einstein est une équation de tenseur reliant un ensemble de tenseurs symétrique 4 x 4. Elle est écrite en termes de composants. Chaque tenseur a 10 composants indépendants. Vu la liberté de choix relative aux coordonnées d'un espace-temps à 4 dimensions, on n'aboutit qu'à 6 équations indépendantes.

L'équation de champ d'Einstein est comprise comme une équation permettant de connaître le tenseur métrique g_{ab}, étant donné une distribution de matière et d'énergie exprimée sous la forme d'un tenseur énergie-impulsion. Malgré son aspect simple, elle est en réalité relativement complexe, notamment du fait que le tenseur de Ricci et la courbure scalaire dépendent de la métrique.

\Lambda, la constante cosmologique, a été introduite par Einstein pour permettre des solutions statiques au modèle cosmologique issu de l'équation d'Einstein. Par la suite, il a qualifié cette introduction de « plus grande erreur de sa vie ».

Si on considère que \Lambda = 0 (ce qu'Einstein a fini par admettre, mais qui est controversé aujourd'hui), il est possible d'écrire cette relation de manière plus compacte en définissant le tenseur d'Einstein

G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R g_{\mu \nu}

qui est un tenseur symétrique de rang 2 dépendant de la métrique. En travaillant en unité géométriqueG = c = 1, on a alors :

G_{\mu \nu} = 8\pi T_{\mu \nu}\,

La partie de gauche représente la courbure de l'espace-temps telle qu'elle est déterminée par la métrique et l'expression de droite représente le contenu masse/énergie de l'espace-temps. Cette équation peut alors être interprétée comme un ensemble d'équations décrivant comment la courbure de l'espace-temps est reliée au contenu masse/énergie de l'univers.

Ces équations, ainsi que l'équation de la géodésique, forment le cœur de la formulation mathématique de la relativité générale.

Propriétés de l'équation d'Einstein[modifier | modifier le code]

Conservation de l'énergie et du moment[modifier | modifier le code]

Une importante conséquence de l'équation d'Einstein est la conservation locale de l'énergie et du moment. Ce résultat apparaît en utilisant l'identité différentielle de Bianchi pour obtenir :

\nabla_\nu G^{\mu \nu}=G^{\mu \nu}{}_{;\nu}=0

ce qui, en utilisant l'équation d'Einstein, donne :

\nabla_\nu T^{\mu \nu}= T^{\mu \nu}{}_{;\nu}=0

qui exprime la conservation locale du tenseur énergie-impulsion.

Non-linéarité des équations de champ[modifier | modifier le code]

L'équation d'Einstein donne lieu à 10 équations aux dérivées partielles non linéaires pour les composants métriques. Cette caractéristique de non-linéarité distingue la relativité générale de l'ensemble des autres théories physiques. Par exemple, les équations de Maxwell de l'électromagnétisme sont linéaires par rapport aux champs électriques et magnétiques (c'est-à-dire que la somme de deux solutions est aussi une solution). Un autre exemple est celui de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique où l'équation est linéaire par rapport à la fonction d'onde.

Le principe de correspondance[modifier | modifier le code]

L'équation d'Einstein se réduit aux lois de la gravité de Newton en utilisant l'approximation des champs faibles et des mouvements lents.

La constante cosmologique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Constante cosmologique.

Il est possible de modifier l'équation des champs d'Einstein en introduisant un terme proportionnel à la métrique :

R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R g_{\mu \nu}  - \Lambda g_{\mu \nu} = {8 \pi} T_{\mu \nu}

(on précisera que cette équation est vraie dans un système d'unité tel que c=1) La constante \Lambda est appelée la constante cosmologique.

Cette constante cosmologique était à l'origine introduite par Einstein pour obtenir de son équation un univers statique (c'est-à-dire un univers qui ne soit pas en expansion ou en contraction). Cet effort fut un échec pour deux raisons : l'univers statique décrit par cette théorie était instable, et les observations des galaxies distantes par Hubble une décennie plus tard confirmèrent que notre univers n'est en fait pas statique mais en expansion. \Lambda fut donc par la suite abandonné, et Einstein la qualifia de "la plus grande erreur de sa vie".

Bien que la motivation d'Einstein pour l'introduction de cette constante ait été erronée, sa présence dans l’équation n'est pas inconsistante. En effet, récemment les techniques astronomiques améliorées ont permis d'affirmer qu'une valeur non nulle de \Lambda est nécessaire pour expliquer certaines observations. L'existence d'une constante cosmologique est alors équivalente à l'existence d'une énergie du vide non nulle.

Solutions de l'équation[modifier | modifier le code]

Les solutions de l'équation d'Einstein sont les tenseurs métriques de l'espace-temps. Elles sont souvent appelées "métriques". Elles décrivent la structure de l'espace-temps en incluant le mouvement inertiel des objets. Du fait que les équations de champs ne sont pas linéaires, elles sont très souvent difficiles à résoudre (c'est-à-dire sans faire des approximations). Par exemple, il n'existe pas de solution complète connue pour un espace-temps constitué de deux corps massifs (correspondant au modèle théorique d'un système binaire de deux étoiles par exemple). Cependant, des approximations sont généralement faites dans ces cas.

L'étude des solutions exactes des équations de champs d'Einstein est l'une des activités de la cosmologie. Elle a mené à la prédiction de l'existence de trous noirs et aux divers modèles de l'évolution de l'univers.

Espace vide[modifier | modifier le code]

Dans le cas où une région de l'espace est vide (c'est-à-dire que le tenseur énergie-impulsion T_{ab} est nul) et loin de toute source gravitationnelle, la métrique de Minkowski s'applique. Cette dernière est la forme classique qu'on trouve dans le cadre de la relativité restreinte et les distances se mesurent à l'aide de la métrique:


ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \ .

On voit alors qu'on a


(g_{\mu \nu}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \

Espace autour d'une masse sphérique[modifier | modifier le code]

La métrique de Schwarzschild permet de décrire la déformation de l'espace-temps dans le vide autour d'une masse sphérique unique (par exemple une étoile). On a alors, pour (x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, r, \theta, \phi)  :


(g_{\mu \nu}) = \begin{bmatrix} 1-\frac{2GM}{rc^2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & -\frac{1}{1-\frac{2GM}{r c^2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 sin^2 \theta \end{bmatrix} \

Espace autour d'un corps en rotation[modifier | modifier le code]

La métrique de Kerr, pour sa part, décrit la déformation de l'espace-temps dans le vide autour d'un trou noir en rotation (en l'absence de champs électromagnétiques). Elle est l'œuvre en 1963 de Roy Kerr, mathématicien néo-zélandais. Contrairement à la métrique de Schwarzschild qui peut s'appliquer autour de tout corps sphérique et statique, la métrique de Kerr est spécifique aux trous noirs seulement et ne peut s'appliquer à d'autres corps en rotation. En prenant à nouveau un référentiel sphérique de l'espace-temps (x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, r, \theta, \phi) (en prenant c=1) on a :


(g_{\mu \nu}) = 
\begin{bmatrix}
 \left(1-\frac{2Mr}{\Sigma}\right) & 0 & 0 & \frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma} \  \\ 
 0  & -\frac{\Sigma}{\Delta} & 0 & 0 \\
 0 & 0 & -\Sigma & 0 \\
 \frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma} & 0 & 0 & -\left(r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta}{\Sigma}\right)\sin^2\theta 
\end{bmatrix} \

avec

\Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta \ ,
\Delta=r^2-2Mr+a^2 \ ,


Voir aussi[modifier | modifier le code]