Équation caractéristique

En mathématiques, l’équation caractéristique (ou équation auxiliaire) est une équation polynomiale de degré $n$ dont dépend la solution d'une équation différentielle d'ordre $n$. L'équation caractéristique ne peut être formée que lorsque l'équation différentielle est linéaire, homogène, et à coefficients constants. Une telle équation différentielle, avec $y$ comme variable dépendante et $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$ comme constantes,

$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0$

aura une équation caractéristique de la forme

$a_nr^{n}+a_1r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0=0$

dont les racines $r$ permettront de former la solution générale de l'équation différentielle. Cette méthode d'intégration des équations différentielles linéaires à coefficients constants a été découverte par Leonhard Euler qui a constaté que les solutions dépendent de l'équation caractéristique. Les qualités de l'équation caractéristique d'Euler ont ensuite été examinées plus en détail par les mathématiciens français Augustin-Louis Cauchy et Gaspard Monge.

Principe

On considère l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants $a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0$,

$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0.$

on peut voir que si $y(x)=e^{rx}$, chaque terme sera un multiple de $e^{rx}$ par une constante. Cela résulte du fait que la dérivée de la fonction exponentielle $e^{rx}$ est un multiple d'elle-même. Par conséquent, $y'=re^{rx}$, $y''=r^2e^{rx}$ et $y^{(n)}=r^ne^{rx}$ sont toutes multiples de $e^{rx}$. On peut en déduire que certaines valeurs de $r$, permettront à des multiples de $e^{rx}$ d'avoir une somme égale à zéro et de résoudre ainsi l'équation différentielle homogène. Pour trouver les valeurs de $r$, on peut remplacer $y$ et ses dérivées par $e^{rx}$ et ses dérivées dans l'équation différentielle pour obtenir :

$a_nr^ne^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots+a_1re^{rx}+a_0e^{rx}=0.$

Puisque $e^{rx}$ ne peut jamais être nul, on peut simplifier l'équation pour obtenir l'équation caractéristique

$a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0=0.$

En trouvant les racines $r$ de cette équation caractéristique, on pourra trouver la solution générale de l'équation différentielle. Par exemple, si $r$ vaut 3, alors la solution générale sera $y(x)=ce^{3x}$ où $c$ est une constante.

Formation de la solution générale

Exemple

L'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants $y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0~$ a pour équation caractéristique $r^5+r^4-4r^3-16r^2-20r-12=0.~$ En factorisant l'équation caractéristique, on obtient : $(r-3)(r^2+2r+2)^2=0.~$ On peut voir que les solutions sont la racine simple réelle $r_1=3$ et les racines doubles complexes $r_{2,3,4,5}=-1\pm i$. Cela correspond à la solution générale à valeurs réelles avec constantes réelles $c_1,\ldots,c_5$ $y(x)=c_1e^{3x}+e^{-x}(c_2\cos x+c_3\sin x)+xe^{-x}(c_4\cos x+c_5\sin x).~$

Résoudre l'équation caractéristique pour trouver ses racines, $r_1,\ldots,r_n$, permet de trouver la solution générale de l'équation différentielle. Les racines peuvent être réelles et/ou complexes, simples et/ou multiples. Si une équation caractéristique a pour solutions des racines réelles simples, $h$ racines réelles multiples et/ou $k$ racines complexes, correspondant respectivement aux solutions générales $y_D(x)$, $y_{R_1}(x),\ldots,y_{R_h}(x)$, et $y_{C_1}(x),\ldots,y_{C_k}(x)$, alors la solution générale de l'équation différentielle est

$y(x)=y_D(x)+y_{R_1}(x)+\cdots+y_{R_h}(x)+y_{C_1}(x)+\cdots+y_{C_k}(x).$

Racines réelles simples

Le principe de superposition des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants dit que si $u_1,\ldots,u_n$ sont $n$ des solutions linéairement indépendantes d'une équation différentielle particulière, alors $c_1u_1+\cdots+c_nu_n$ est aussi une solution pour toutes les valeurs $c_1,\ldots,c_n$. Par conséquent, si l'équation caractéristique a pour solution les racines réelles distinctes $r_1,\ldots,r_n$ alors la solution générale sera de la forme

$y_D(x)=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+\cdots+c_ne^{r_nx}.$

Racines réelles multiples

Si l'équation caractéristique a une racine $r_1$ qui est répétée $k$ fois, alors il est clair que $y_p(x)=c_1e^{r_1x}$, au moins, est solution. Mais cela ne suffit pas : à cette racine $r_1$ d'ordre $k$ doivent correspondre $k$ solutions indépendantes. Puisque $r_1$ est racine multiple d'ordre $k$, l'équation différentielle peut être factorisée en :

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}-r_1\right)^ky=0.$

Le fait que $y_p(x)=c_1e^{r_1x}$ soit une solution permet de supposer que la solution générale peut être de la forme $y(x)=u(x)e^{r_1x}$ où $u$ est une fonction à déterminer.

En remplaçant $y$ par $ue^{r_1x}$ on obtient :

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}-r_1\right)ue^{r_1x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(ue^{r_1x})-r_1ue^{r_1x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(u)e^{r_1x}+r_1ue^{r_1x}-r_1ue^{r_1x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(u)e^{r_1x}.$

En appliquant ce fait $k$ fois, il s'ensuit que

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}-r_1\right)^kue^{r_1x}=\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}(u)e^{r_1x}.$

L'équation différentielle sur $y$ équivaut donc à l'équation différentielle suivante sur $u$ :

$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}(u)e^{r_1x}=0.$

En divisant par $e^{r_1x}$, elle devient :

$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}(u)=u^{(k)}=0.$

Par conséquent, $u$ est solution si et seulement si c'est un polynôme de degré $k$, soit

$u(x)=c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_kx^{k-1}.$

Puisque $y(x)=ue^{r_1x}$, la partie de la solution générale correspondant à la racine $r_1$ est

$y_{R_1}(x)=e^{r_1x}(c_1+c_2x+\cdots+c_kx^{k-1}).$

Racines complexes

Si l'équation caractéristique a des racines complexes de la forme $r_1=a+bi$ et $r_2=a-bi$, alors la solution générale est $y(x)=c_1e^{(a+bi)x}+c_2e^{(a-bi)x}$.

Mais, en utilisant la formule d'Euler

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,~$

cette solution peut être écrite comme suit :

$\begin{align}y(x)&=c_1e^{(a+bi)x}+c_2e^{(a-bi)x}\\ &=c_1e^{ax}(\cos(bx)+i\sin(bx))+c_2e^{ax}(\cos(bx)-i\sin(bx))\\ &=(c_1+c_2)e^{ax}\cos(bx)+i(c_1-c_2)e^{ax}\sin(bx)\\ &=e^{ax}(d_1\cos(bx)+d_2\sin(bx))\end{align}$

en posant $d_1=c_1+c_2$ et $d_2=i(c_1-c_2)$. Inversement, à partir de cette dernière expression de la solution générale, on retrouve l'expression initiale en posant $c_1=(d_1-id_2)/2$ et $c_2=(d_1+id_2)/2$.

Dans ces deux expressions, $c_1,c_2$ et $d_1,d_2$ sont des constantes qui peuvent être complexes. Mais l'intérêt de la seconde expression est de fournir les fonctions à valeurs réelles solutions de l'équation différentielle, pour les valeurs réelles des constantes $d_1,d_2$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Characteristic equation (calculus) » (voir la liste des auteurs)