Équation caractéristique

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En mathématiques, l’équation caractéristique (ou équation auxiliaire[1]) est une équation polynomiale de degré n dont dépend la solution[2] d'une équation différentielle d'ordre n. L'équation caractéristique ne peut être formée que lorsque l'équation différentielle est linéaire, homogène, et à coefficients constants[1]. Une telle équation différentielle, avec y comme variable dépendante et a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0 comme constantes,

a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0

aura une équation caractéristique de la forme

a_nr^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0=0

dont les racines r permettront de former la solution générale de l'équation différentielle[1],[3],[4]. Cette méthode d'intégration des équations différentielles linéaires à coefficients constants a été découverte par Leonhard Euler qui a constaté que les solutions dépendent de l'équation caractéristique[2]. Les qualités de l'équation caractéristique d'Euler ont ensuite été examinées plus en détail par les mathématiciens français Augustin-Louis Cauchy et Gaspard Monge[2],[4].

Principe[modifier | modifier le code]

On considère l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0,

a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0.

on peut voir que si y(x)=e^{rx}, chaque terme sera un multiple de e^{rx} par une constante. Cela résulte du fait que la dérivée de la fonction exponentielle e^{rx} est un multiple d'elle-même. Par conséquent, y'=re^{rx}, y''=r^2e^{rx} et y^{(n)}=r^ne^{rx} sont toutes multiples de e^{rx}. On peut en déduire que certaines valeurs de r, permettront à des multiples de e^{rx} d'avoir une somme égale à zéro et de résoudre ainsi l'équation différentielle homogène[3]. Pour trouver les valeurs de r, on peut remplacer y et ses dérivées par e^{rx} et ses dérivées dans l'équation différentielle pour obtenir :

a_nr^ne^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots+a_1re^{rx}+a_0e^{rx}=0.

Puisque e^{rx} ne peut jamais être nul, on peut simplifier l'équation pour obtenir l'équation caractéristique

a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0=0.

En trouvant les racines r de cette équation caractéristique, on pourra trouver la solution générale de l'équation différentielle[1],[4]. Par exemple, si r vaut 3, alors la solution générale sera y(x)=ce^{3x}c est une constante.

Formation de la solution générale[modifier | modifier le code]

Exemple

L'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants

y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0~

a pour équation caractéristique

r^5+r^4-4r^3-16r^2-20r-12=0.~

En factorisant l'équation caractéristique, on obtient :

(r-3)(r^2+2r+2)^2=0.~

On peut voir que les solutions sont la racine simple réelle r_1=3 et les racines doubles complexes r_{2,3,4,5}=-1\pm i. Cela correspond à la solution générale à valeurs réelles avec constantes réelles c_1,\ldots,c_5

y(x)=c_1e^{3x}+e^{-x}(c_2\cos x+c_3\sin x)+xe^{-x}(c_4\cos x+c_5\sin x).~

Résoudre l'équation caractéristique pour trouver ses racines, r_1,\ldots,r_n, permet de trouver la solution générale de l'équation différentielle. Les racines peuvent être réelles et/ou complexes, simples et/ou multiples. Si une équation caractéristique a pour solutions des racines réelles simples, h racines réelles multiples et/ou k racines complexes, correspondant respectivement aux solutions générales y_D(x), y_{R_1}(x),\ldots,y_{R_h}(x), et y_{C_1}(x),\ldots,y_{C_k}(x), alors la solution générale de l'équation différentielle est

y(x)=y_D(x)+y_{R_1}(x)+\cdots+y_{R_h}(x)+y_{C_1}(x)+\cdots+y_{C_k}(x).

Racines réelles simples[modifier | modifier le code]

Le principe de superposition des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants dit que si u_1,\ldots,u_n sont n des solutions linéairement indépendantes d'une équation différentielle particulière, alors[1] c_1u_1+\cdots+c_nu_n est aussi une solution pour toutes les valeurs c_1,\ldots,c_n. Par conséquent, si l'équation caractéristique a pour solution les racines réelles distinctes r_1,\ldots,r_n alors la solution générale sera de la forme

y_D(x)=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+\cdots+c_ne^{r_nx}.

Racines réelles multiples[modifier | modifier le code]

Si l'équation caractéristique a une racine r_1 qui est répétée k fois, alors il est clair que y_p(x)=c_1e^{r_1x}, au moins, est solution[1]. Mais cela ne suffit pas : à cette racine r_1 d'ordre k doivent correspondre k solutions indépendantes. Puisque r_1 est racine multiple d'ordre k, l'équation différentielle peut être factorisée en[1] :

\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}-r_1\right)^ky=0.

Le fait que y_p(x)=c_1e^{r_1x} soit une solution permet de supposer que la solution générale peut être de la forme y(x)=u(x)e^{r_1x}u est une fonction à déterminer.

En remplaçant y par ue^{r_1x} on obtient :

\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}-r_1\right)ue^{r_1x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(ue^{r_1x})-r_1ue^{r_1x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(u)e^{r_1x}+r_1ue^{r_1x}-r_1ue^{r_1x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(u)e^{r_1x}.

En appliquant ce fait k fois, il s'ensuit que

\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}-r_1\right)^kue^{r_1x}=\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}(u)e^{r_1x}.

L'équation différentielle sur y équivaut donc à l'équation différentielle suivante sur u :

\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}(u)e^{r_1x}=0.

En divisant par e^{r_1x}, elle devient :

\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}(u)=u^{(k)}=0.

Par conséquent, u est solution si et seulement si[4] c'est un polynôme de degré k, soit

u(x)=c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_kx^{k-1}.

Puisque y(x)=ue^{r_1x}, la partie de la solution générale correspondant à la racine r_1 est

y_{R_1}(x)=e^{r_1x}(c_1+c_2x+\cdots+c_kx^{k-1}).

Racines complexes[modifier | modifier le code]

Si l'équation caractéristique a des racines complexes de la forme r_1=a+bi et r_2=a-bi, alors la solution générale est y(x)=c_1e^{(a+bi)x}+c_2e^{(a-bi)x}.

Mais, en utilisant la formule d'Euler

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,~

cette solution peut être écrite comme suit[4] :

\begin{align}y(x)&=c_1e^{(a+bi)x}+c_2e^{(a-bi)x}\\
&=c_1e^{ax}(\cos(bx)+i\sin(bx))+c_2e^{ax}(\cos(bx)-i\sin(bx))\\
&=(c_1+c_2)e^{ax}\cos(bx)+i(c_1-c_2)e^{ax}\sin(bx)\\
&=e^{ax}(d_1\cos(bx)+d_2\sin(bx))\end{align}

en posant d_1=c_1+c_2 et d_2=i(c_1-c_2). Inversement, à partir de cette dernière expression de la solution générale, on retrouve l'expression initiale en posant c_1=(d_1-id_2)/2 et c_2=(d_1+id_2)/2.

Dans ces deux expressions, c_1,c_2 et d_1,d_2 sont des constantes qui peuvent être complexes. Mais l'intérêt de la seconde expression est de fournir les fonctions à valeurs réelles solutions de l'équation différentielle, pour les valeurs réelles des constantes d_1,d_2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Characteristic equation (calculus) » (voir la liste des auteurs)

  1. a, b, c, d, e, f et g (en) C. Henry Edwards, David E. Penney et David Calvis, Differential Equations: Computing and Modeling, Upper Saddle River (New Jersey), Pearson Education (ISBN 978-0-13-600438-7), « 3 », p. 156–170
  2. a, b et c (en) David Eugene Smith, « History of Modern Mathematics: Differential Equations », Université de Floride du Sud
  3. a et b (en) Herman Chu, Gaurav Shah et Tom Macall, « Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients », eFunda
  4. a, b, c, d et e (en) Abraham Cohen, An Elementary Treatise on Differential Equations, D. C. Heath and Company (en),‎ 1906