Équation biharmonique

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En analyse, l'équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles d'ordre 4, qui apparaît par exemple dans la théorie de l'élasticité. L'équation biharmonique pour une fonction \phi s'écrit :

\nabla^4\varphi= \Delta^2 \varphi = 0

\nabla est l'opérateur nabla et \Delta l'opérateur laplacien. L'opérateur \Delta^2 est aussi connu sous le nom d'opérateur biharmonique ou bilaplacien.

Dans le cas tridimensionnel, dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation biharmonique s'écrit :


\frac{\partial^4 \varphi}{ \partial x^4 } +
\frac{\partial^4 \varphi}{ \partial y^4 } +
\frac{\partial^4 \varphi}{ \partial z^4 }+ 
2\frac{\partial^4 \varphi}{ \partial x^2\partial y^2}+
2\frac{\partial^4 \varphi}{ \partial y^2\partial z^2}+
2\frac{\partial^4 \varphi}{ \partial x^2\partial z^2} = 0.

Dans un espace euclidien de dimension n, la relation suivante est toujours vérifiée :

\nabla^4 \left(\frac{1}{ r}\right)= \frac{3(15-8n+n^2)}{ r^5}

avec r la distance euclidienne :

r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}.

ce qui, pour n = 3, est solution de l'équation biharmonique.

Une fonction qui est solution de l'équation biharmonique est appelée fonction biharmonique. Toute fonction harmonique est biharmonique — la réciproque n'est pas vraie.

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Références[modifier | modifier le code]