Éléments d'Euclide

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Couverture de la première édition anglaise des Éléments par Henry Billingsley, 1570

Les Éléments (en grec ancien Στοιχεία / stoïkheïa) sont un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers 300 av. J.-C. Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitifs.

Les Éléments sont le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et systématique de la géométrie et son influence sur le développement de la logique et de la science occidentale est fondamentale. Il s'agit probablement du recueil qui a rencontré le plus de succès au cours de l'Histoire : les Éléments furent l'un des premiers livres imprimés (Venise, 1482) et n'est précédé que par la Bible pour le nombre d'éditions publiées (largement plus de 1 000). Pendant des siècles, il a fait partie du cursus universitaire standard.

Principes[modifier | modifier le code]

Une des plus anciennes versions connues des Éléments : le P. Oxy. 29 (en) (fragment daté des environs de l'an 300, ou peut-être de l'an 100).

La méthode d'Euclide a consisté à baser ses travaux sur des définitions, des « demandes » (postulats), des « notions ordinaires » (axiomes) et des propositions (problèmes résolus, au nombre de 470 au total dans les treize livres). Par exemple, le livre I contient 35 définitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires.

Postulats du livre I :

  1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
  2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
  3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.
  4. Tous les angles droits sont congruents.
  5. Si deux lignes droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

Notions ordinaires du livre I[1] :

  1. Deux choses égales à une troisième sont aussi égales entre elles.
  2. Si des grandeurs égales sont ajoutées à d'autres grandeurs également égales entre elles, leurs sommes sont égales.
  3. Si des grandeurs égales sont soustraites à d'autres grandeurs égales, leurs différences sont égales.
  4. Des grandeurs qui coïncident, s'adaptent avec une autre, sont égales entre elles.
  5. Le tout est plus grand que la partie.

Postérité[modifier | modifier le code]

Codex Vaticanus 190

Le succès des Éléments est dû principalement à sa présentation logique et organisée. L'utilisation systématique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduit d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles.

Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néanmoins, les Éléments restent une œuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence considérable. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei et particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leurs propres travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leurs propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives.

Des cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, dont on déduit le postulat des parallèles : « en un point extérieur à une droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle », a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du XIXe siècle, il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries non euclidiennes cohérentes en prenant sa négation.

Histoire[modifier | modifier le code]

Des traces écrites de notions de longueurs et d'orthogonalité apparaissent en Mésopotamie à une période située entre 1900 et 1600 av. J.-C. On y trouve trace d'une connaissance du « théorème de Pythagore » au moins en tant que règle de calcul.

Bien que la plupart des théorèmes lui soient antérieurs, les Éléments étaient suffisamment complets et rigoureux pour éclipser les œuvres géométriques qui les ont précédés et peu de choses sont connues sur la géométrie pré-euclidienne. Par exemple, si on en croit le néoplatonicien Proclus (Ve siècle), Hippocrate de Chios fut, au Ve siècle av. J.-C., le premier auteur connu de la tradition ayant écrit des éléments de géométrie, mais ceux-ci ne nous sont pas parvenus[2].

Son auteur Euclide, actif autour de 300 av. J.-C., paraît avoir été influencé par Aristote (-384-322 av. J.-C.). Son histoire ainsi que celle de son traité sont mal connues.

L'ouvrage fut traduit en arabe après avoir été donné aux Arabes par l'Empire byzantin, puis traduit en latin d'après les textes arabes (Adelard de Bath au XIIe siècle, repris par Campanus de Novare). La première édition imprimée date de 1482 et le livre fut depuis traduit dans une multitude de langues et publié dans plus de 1 000 éditions différentes. Des copies du texte grec existent toujours, par exemple dans la bibliothèque du Vatican ou à la Bodleian Library à Oxford, mais ces manuscrits sont de qualité variable et toujours incomplets[3]. Par analyse des traductions et des originaux, il a été possible d'émettre des hypothèses sur le contenu originel, dont il ne subsiste aucune copie intégrale.

Axiomatisation ultérieure[modifier | modifier le code]

Les mathématiciens remarquèrent au fil du temps que les démonstrations d'Euclide nécessitaient des hypothèses additionnelles, non spécifiées dans le texte original, par exemple ce qui est devenu l'axiome de Pasch. David Hilbert a donné en 1899 un développement axiomatique de la géométrie euclidienne du plan et de l'espace dans ses Grundlagen der Geometrie (Les fondements de la géométrie), les axiomes sont explicités, et présentés de façon organisée.

Livres[modifier | modifier le code]

Les Éléments sont organisés comme suit :

Il existe deux livres apocryphes, présents en annexe dans la traduction de Heath.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Léonard Milodinow, Dans l’œil du compas : la géométrie d'Euclide à Einstein, p. 49. Voir aussi la traduction de Peyrard, légèrement différente.
  2. Cf. Thomas Little Heath, A History of Greek Mathematics, vol. 1 : From Thales to Euclid, CUP,‎ (1re éd. 1921) (ISBN 978-1-10806306-7, lire en ligne), p. 182-202.
  3. Cf. (en) Menso Folkerts, The development of mathematics in medieval Europe: the Arabs, Euclid, Regiomontanus, Munich, 1989 (en ligne) ; repr. Ashgate Variorum 2006 (ISBN 978-0-86078-957-4) .

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions]
  • Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris 1819, nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert Blanchard 1993 ; l'édition de 1819 reprend le texte français de son édition trilingue (grec, latin, français) parue en 1814, 1816 et 1818 ; Peyrard prend en compte pour sa traduction du manuscrit 190 de la bibliothèque du Vatican, dont il ne disposait pas encore pour sa traduction partielle de 1804.
  • Les élémens de géométrie d'Euclide , traduits littéralement et suivis d'un Traité du cercle, du cylindre, du cône et de la sphère, de la mesure des surfaces et des solides, avec des notes, par F. Peyrard, F. Louis (Paris),‎ , traduction par F. Peyrard des livres I, II, III, IV, VI, XI et XII :
  • Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide plus le livre des donnez du mesme Euclide aussi traduict en françois par ledit Henrion, et imprimé de son vivant traduction de Denis Henrion, 1632, lire en ligne (gallica).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]