Élément conjugué

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En mathématiques, les éléments conjugués d'un élément algébrique x sur un corps K sont les racines de son polynôme minimal sur K, dans une extension L de K où ce polynôme est scindé. De façon équivalente, les conjugués x sont l'image de x par les K-automorphismes de L/K.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Si α est un élément de K, son polynôme minimal sur K est X–α donc son seul conjugué sur K est lui-même.
  • Si α=a+ib est un nombre complexe non réel, c'est-à-dire si sa partie imaginaire b est non nulle, alors son polynôme minimal sur ℝ est (X–α)(Xα)=X2–2aX+a2+b2 donc ses conjugués sur ℝ sont α lui-même et son nombre complexe conjugué α.
  • Les racines cubiques de l'unité dans ℂ sont
    1,\quad\mathrm j=e^\frac{2\mathrm i\pi}3=\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2\quad\text{et}\quad\mathrm j^2=\overline{\mathrm j}=e^\frac{-2\mathrm i\pi}3=\frac{-1-\mathrm i\sqrt3}2.
    Sur , j et j2 ont pour polynôme minimal commun X2+X+1 et sont conjugués.
    Plus généralement, les racines primitives n-ièmes de l'unité dans ℂ ont pour polynôme minimal sur ℚ le n-ième polynôme cyclotomique et sont conjuguées sur ℚ.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  1. si |α| est inférieur ou égal à 1 alors α est une racine de l'unité ;
  2. si |α| est inférieur ou égal à 2 et α est totalement réel, c'est-à-dire si tous les conjugués de α sur ℚ appartiennent à l'intervalle réel [–2,2], alors α est de la forme 2 cos(πr) pour un certain rationnel r.

Le point 1 peut se déduire du lemme suivant (utile par ailleurs dans la démonstration du théorème des unités de Dirichlet[5],[6]) : pour tout entier n et tout réel C, il n'existe qu'un nombre fini d'entiers algébriques α tels que le degré (du polynôme minimal) de α soit inférieur ou égal à n et que |α| ≤ C.

Il existe divers raffinements de ce point 1 fournissant, en fonction du degré de α, une majoration de |α| moins contraignante mais encore suffisante pour que α soit racine de l'unité[3].

Conjugués d'un polynôme[modifier | modifier le code]

Supposons que f(x) soit un polynôme séparable et irréductible dans K[X], et qu'il existe une extension M/K et un polynôme g dans M[X] tel que g divise f dans M[X]. Si l'on dénote par L le corps de décomposition de f sur K, L/K est galoisienne, et L[X]/K[X] est isomorphe à L/K. De plus, les coefficients de g appartiennent à L. En particulier, le polynôme g est algébrique sur K[X], et donc possède des éléments conjugués sur K[X]: l'ensemble des conjugués de g s'obtient en appliquant les automorphismes de Gal(L/K) sur les coefficients de g.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Il est naturel de penser que le produit des conjugués de g est égal à f, mais c'est inexact, sauf si g est irréductible et que f est primitif, dans le sens où L/K est engendré par une seule racine de f[réf. souhaitée].

En général, le produit des conjugués de g est égal à cfn, où c appartient au corps K et n est un nombre naturel[réf. souhaitée].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Serge Lang, Algebra [détail des éditions], 8e réimpr., 1978, p. 182
  2. (de) L. Kronecker, « Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten », J. reine angew. Math., vol. 53,‎ 1857, p. 173-175 (lire en ligne)
  3. a et b (en) Władysław Narkiewicz (de), Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springer,‎ 2004, 3e éd. (ISBN 978-3-540-21902-6, lire en ligne), p. 49 et 71
  4. (en) James Fraser McKee, « Conjugate algebraic numbers on conics: A survey », dans J. F. McKee et C. Smyth, Number Theory and Polynomials, CUP, coll. « LMS Lecture Note Series » (no 352),‎ 2008 (ISBN 978-0-52171467-9, lire en ligne), p. 211-240
  5. (en) Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, Academic Press, coll. « Pure and Applied Mathematics » (no 55),‎ 1973, 3e éd. (ISBN 978-0-12380250-7, lire en ligne), p. 55
  6. (en) Serge Lang, Algebraic Number Theory, Springer, coll. « GTM » (no 110),‎ 1994, 2e éd. (ISBN 978-0-38794225-4, lire en ligne), p. 105

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Conjugate Elements », MathWorld