Théorème de Schwarz

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Le théorème de Schwarz, également appelé théorème de Clairaut, peut s'énoncer ainsi :

Théorème de Schwarz — Soit $f$, une fonction numérique de n variables, définie sur un ensemble ouvert $U$ de ℝⁿ. Si les dérivées partielles existent à l'ordre $p$ et sont continues en un point $x$ de $U$, alors le résultat d'une dérivation à l'ordre $p$ ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport aux $p$ variables considérées.

Dans le cas particulier des fonctions de deux variables $x$ et $y$, on obtient :

$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)$

Démonstration

Nous allons la faire dans le cas n=2 et p=2. Soit (x₀,y₀) dans U. Pour t proche de zéro, on pose

$F(t) = f(x_{0}+t,y_{0}+t)-f(x_{0},y_{0}+t)-f(x_{0}+t,y_{0}) + f(x_{0},y_{0})$

et

$g(y)=f(x_{0}+t,y)-f(x_{0},y)$

de sorte que

$F(t) = g(y_{0}+t)-g(y_{0}).$

On différencie par rapport à y, ce qui donne

$g'(y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}+t,y) - \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y).$

On applique ensuite le théorème des accroissements finis à g entre y₀ et y₀+t : il existe a compris entre 0 et 1 tel que

$F(t)= t g'(y_{0}+a t) = t \left( \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}+t,y_{0}+a t) - \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}+a t)\right).$

Et toujours en appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction

$x \mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x,y_{0}+a t)$

entre x₀ et x₀+t, il existe a' compris entre 0 et 1 tel que

$F(t) = t^{2} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)(x_{0}+a't, y_{0}+a t).$

Or les fonctions considérées ici sont continues, donc

$\frac{F(t)}{t^{2}} \underset{t \to 0}{\longrightarrow}= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(x_{0},y_{0}).$

En utilisant un argument symétrique en remplaçant g par h définie par

$h(x)=f(x,y_{0}+t)-f(x,y_{0})$

on montre que

$\frac{F(t)}{t^{2}} \underset{t \to 0}{\longrightarrow}= \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(x_{0},y_{0}).$

Par unicité de la limite, on a bien

$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).$

Les cas n>2 et p>2 sont analogues.

Un contre-exemple

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées.

Considérons la fonction :

$f(x,y)= \begin{cases} \frac{x y^3}{x^2 + y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

Les dérivées partielles premières sont :

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \begin{cases} y^3 \frac{y^2- x^2}{( x^2 + y^2 )^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

et

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \begin{cases} x y^2 \frac{3 x^2 + y^2}{( x^2 + y^2 )^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon,} \end{cases}$

de sorte que

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) = 0\text{ tandis que }\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) = 1$.

Accessoirement, on peut vérifier que pour $(x,y)\ne(0,0)$,

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (x,y) =y^2 \frac{(6x^2y^2-3x^4+y^4)}{( x^2 + y^2 )^3}= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (x,y)$.

Application du théorème de Clairaut-Schwarz aux formes différentielles exactes

Considérons la forme différentielle exacte suivante, où $f$ est une fonction de classe $C^2$ :

$\mathrm df = a(x,y)\,\mathrm dx + b(x,y)\,\mathrm dy$

Nous savons alors que :

$a(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}$ et $b(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}$

En appliquant le théorème de Clairaut-Schwarz nous en déduisons immédiatement la relation :

$\frac{\partial a(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial b(x,y)}{\partial x}$

(par dérivation et inversion de l'ordre de dérivation...)