Écart type géométrique

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Dans les domaines des statistiques et des probabilités, l'écart type géométrique décrit la dispersion d'un ensemble de nombres autour de la moyenne géométrique.

Définition[modifier | modifier le code]

Si la moyenne géométrique d'un ensemble de nombres {A1, A2, ..., An} est notée μg, alors l'écart type géométrique est défini par :

 \sigma_g = \exp \left( \sqrt{ \sum_{i=1}^n ( \ln { A_i \over \mu_g } )^2 \over n } \right). \qquad \qquad (1)

 \mu_g = \sqrt[n]{ A_1 A_2 \cdots A_n  }.\,

Preuve[modifier | modifier le code]

on a

 \ln \mu_g = {1 \over n} \ln (A_1 A_2 \cdots A_n).

et

 \ln \mu_g = {1 \over n} [ \ln A_1 + \ln A_2 + \cdots + \ln A_n ].\,

 \ln \, \mu_g est donc la moyenne arithmétique de  \{ \ln A_1, \ln A_2, \dots , \ln A_n \} , par conséquent l'écart type de cet ensemble de nombres est :

 \ln \sigma_g = \sqrt{ \sum_{i=1}^n ( \ln A_i - \ln \mu_g )^2 \over n }[b 1]

d'où

 \sigma_g = \exp{\sqrt{ \sum_{i=1}^n (  \ln { A_i \over \mu_g } )^2 \over n }}  .

Lien avec la loi log-normale[modifier | modifier le code]

L'écart type géométrique est relié à la loi log-normale. Celle-ci est une distribution de Laplace-Gauss pour les variables Y=lnA ; A suit alors une loi log-normale. L'écart type géométrique est donc l'exponentielle de l'écart type de Y, puisque  \ln \mu_g est la moyenne de Y.

Ainsi, la moyenne géométrique et l'écart type géométrique sont deux grandeurs pouvant être utilisées pour trouver les bornes d'un intervalle de confiance pour la distribution log-normale, d'une manière identique à ce qui est fait pour la loi normale[b 2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Geometric standard deviation » (voir la liste des auteurs)


Références[modifier | modifier le code]

Ouvrages spécialisés[modifier | modifier le code]

  1. Dodge 2010, p. 229
  2. (en) Warren H. Finlay, The Mechanics of Inhaled Pharmaceutical Aerosols: An Introduction , San Diego, Academic Press Inc,‎ 2001, 320 p. (ISBN 978-0122569715), p. 5


Articles publiés sur internet[modifier | modifier le code]


Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Yadolah Dodge, « The Concise Encyclopaedia of Statistics », New York, Springer,‎ 2010, 622 p. (ISBN 978-0-387-31742-7).Document utilisé pour la rédaction de l’article


Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]


Liens externes[modifier | modifier le code]